---

Step * 1 1 2 1 2 2 1 2 of Lemma AX3


1. e : EuclideanParPlane@i'
2. l2 : Line@i
3. p1 : Point@i
4. l4 : n:{n:Line| p1 I n}  × p1 # l2@i
5. l1 : Line@i
6. p : Point@i
7. m2 : n:{n:Line| p I n}  × p # l1@i
8. p2 : Point@i
9. l : Line@i
10. n : Line@i
11. P4 : p2 I n@i
12. P5 : p2 # l@i
13. ¬((l \/ l2 ∨ n \/ l2) ∧ (∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l2))
14. n \/ l1
15. ∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l1
16. ∀l,m,n:Line.  (l \/ m ⇒ (l \/ n ∨ m \/ n))
17. n \/ l2
18. l2 \/ l
19. l \/ l1
20. n \/ l2 ⇐ (n # l2) ∧ (∃x:Point. (x I n ∧ x I l2))
21. (n # l2)
22. x : Point
23. x I n
24. x I l2
25. ¬x # l
⊢ ∃P:P_point(e). ((¬P_point-line-sep(e;P;<l2, p1, l4>)) ∧ (¬P_point-line-sep(e;P;<l1, p, m2>)))
BY
{ (((Assert x # l1 BY InstHyp [⌜x⌝] (15)⋅) THEN Auto)
   THENA ((MemTypeCD THEN Auto) THEN InstLemma `geo-incident-iff-not-plsep` [⌜e⌝;⌜x⌝;⌜l1⌝]⋅ THEN EAuto 1)
   ) }

1
1. e : EuclideanParPlane@i'
2. l2 : Line@i
3. p1 : Point@i
4. l4 : n:{n:Line| p1 I n}  × p1 # l2@i
5. l1 : Line@i
6. p : Point@i
7. m2 : n:{n:Line| p I n}  × p # l1@i
8. p2 : Point@i
9. l : Line@i
10. n : Line@i
11. P4 : p2 I n@i
12. P5 : p2 # l@i
13. ¬((l \/ l2 ∨ n \/ l2) ∧ (∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l2))
14. n \/ l1
15. ∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l1
16. ∀l,m,n:Line.  (l \/ m ⇒ (l \/ n ∨ m \/ n))
17. n \/ l2
18. l2 \/ l
19. l \/ l1
20. n \/ l2 ⇐ (n # l2) ∧ (∃x:Point. (x I n ∧ x I l2))
21. (n # l2)
22. x : Point
23. x I n
24. x I l2
25. ¬x # l
26. x # l1
⊢ ∃P:P_point(e). ((¬P_point-line-sep(e;P;<l2, p1, l4>)) ∧ (¬P_point-line-sep(e;P;<l1, p, m2>)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanParPlane@i'
2.  l2  :  Line@i
3.  p1  :  Point@i
4.  l4  :  n:\{n:Line|  p1  I  n\}    \mtimes{}  p1  \#  l2@i
5.  l1  :  Line@i
6.  p  :  Point@i
7.  m2  :  n:\{n:Line|  p  I  n\}    \mtimes{}  p  \#  l1@i
8.  p2  :  Point@i
9.  l  :  Line@i
10.  n  :  Line@i
11.  P4  :  p2  I  n@i
12.  P5  :  p2  \#  l@i
13.  \mneg{}((l  \mbackslash{}/  l2  \mvee{}  n  \mbackslash{}/  l2)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\{x:Point|  x  I  l  \mwedge{}  x  I  n\}  .  x  \#  l2))
14.  n  \mbackslash{}/  l1
15.  \mforall{}x:\{x:Point|  x  I  l  \mwedge{}  x  I  n\}  .  x  \#  l1
16.  \mforall{}l,m,n:Line.    (l  \mbackslash{}/  m  {}\mRightarrow{}  (l  \mbackslash{}/  n  \mvee{}  m  \mbackslash{}/  n))
17.  n  \mbackslash{}/  l2
18.  l2  \mbackslash{}/  l
19.  l  \mbackslash{}/  l1
20.  n  \mbackslash{}/  l2  \mLeftarrow{}{}  (n  \#  l2)  \mwedge{}  (\mexists{}x:Point.  (x  I  n  \mwedge{}  x  I  l2))
21.  (n  \#  l2)
22.  x  :  Point
23.  x  I  n
24.  x  I  l2
25.  \mneg{}x  \#  l
\mvdash{}  \mexists{}P:P\_point(e).  ((\mneg{}P\_point-line-sep(e;P;<l2,  p1,  l4>))  \mwedge{}  (\mneg{}P\_point-line-sep(e;P;<l1,  p,  m2>)))


By

---

Latex:
(((Assert  x  \#  l1  BY  InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  (15)\mcdot{})  THEN  Auto)
  THENA  ((MemTypeCD  THEN  Auto)
                THEN  InstLemma  `geo-incident-iff-not-plsep`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}l1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                THEN  EAuto  1)
  )

---

Home Index