---

Step * 1 1 2 2 of Lemma AX3


1. e : EuclideanParPlane@i'
2. l2 : Line@i
3. p1 : Point@i
4. l4 : n:{n:Line| p1 I n}  × p1 # l2@i
5. l1 : Line@i
6. p : Point@i
7. m2 : n:{n:Line| p I n}  × p # l1@i
8. p2 : Point@i
9. l : Line@i
10. n : Line@i
11. P4 : p2 I n@i
12. P5 : p2 # l@i
13. ¬((l \/ l2 ∨ n \/ l2) ∧ (∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l2))
14. n \/ l1
15. ∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l1
16. ∀l,m,n:Line.  (l \/ m ⇒ (l \/ n ∨ m \/ n))
17. l1 \/ l2
⊢ ∃P:P_point(e). ((¬P_point-line-sep(e;P;<l2, p1, l4>)) ∧ (¬P_point-line-sep(e;P;<l1, p, m2>)))
BY
{ ((((InstLemma `geo-intersect-lines-iff` [⌜e⌝;⌜l1⌝;⌜l2⌝]⋅ THEN Auto) THEN ExRepD)
    THEN Unfold `geo-line-sep` 19
    THEN ExRepD)
   THEN ((Assert p3 I l1 BY EAuto 1) THEN (Assert p3 # l2 BY EAuto 1))
   THEN (RenameVar `S1' (25) THEN RenameVar `S2' (26))
   THEN (D 0 With ⌜<p3, l2, l1, S1, S2>⌝  THENA Auto)) }

1
1. e : EuclideanParPlane@i'
2. l2 : Line@i
3. p1 : Point@i
4. l4 : n:{n:Line| p1 I n}  × p1 # l2@i
5. l1 : Line@i
6. p : Point@i
7. m2 : n:{n:Line| p I n}  × p # l1@i
8. p2 : Point@i
9. l : Line@i
10. n : Line@i
11. P4 : p2 I n@i
12. P5 : p2 # l@i
13. ¬((l \/ l2 ∨ n \/ l2) ∧ (∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l2))
14. n \/ l1
15. ∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l1
16. ∀l,m,n:Line.  (l \/ m ⇒ (l \/ n ∨ m \/ n))
17. l1 \/ l2
18. l1 \/ l2 ⇐ (l1 # l2) ∧ (∃x:Point. (x I l1 ∧ x I l2))
19. p3 : Point
20. Colinear(p3;fst(l1);fst(snd(l1)))
21. p3 # fst(l2)fst(snd(l2))
22. x : Point
23. x I l1
24. x I l2
25. S1 : p3 I l1
26. S2 : p3 # l2
⊢ (¬P_point-line-sep(e;<p3, l2, l1, S1, S2>;<l2, p1, l4>)) ∧ (¬P_point-line-sep(e;<p3, l2, l1, S1, S2>;<l1, p, m2>))

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanParPlane@i'
2.  l2  :  Line@i
3.  p1  :  Point@i
4.  l4  :  n:\{n:Line|  p1  I  n\}    \mtimes{}  p1  \#  l2@i
5.  l1  :  Line@i
6.  p  :  Point@i
7.  m2  :  n:\{n:Line|  p  I  n\}    \mtimes{}  p  \#  l1@i
8.  p2  :  Point@i
9.  l  :  Line@i
10.  n  :  Line@i
11.  P4  :  p2  I  n@i
12.  P5  :  p2  \#  l@i
13.  \mneg{}((l  \mbackslash{}/  l2  \mvee{}  n  \mbackslash{}/  l2)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\{x:Point|  x  I  l  \mwedge{}  x  I  n\}  .  x  \#  l2))
14.  n  \mbackslash{}/  l1
15.  \mforall{}x:\{x:Point|  x  I  l  \mwedge{}  x  I  n\}  .  x  \#  l1
16.  \mforall{}l,m,n:Line.    (l  \mbackslash{}/  m  {}\mRightarrow{}  (l  \mbackslash{}/  n  \mvee{}  m  \mbackslash{}/  n))
17.  l1  \mbackslash{}/  l2
\mvdash{}  \mexists{}P:P\_point(e).  ((\mneg{}P\_point-line-sep(e;P;<l2,  p1,  l4>))  \mwedge{}  (\mneg{}P\_point-line-sep(e;P;<l1,  p,  m2>)))


By

---

Latex:
((((InstLemma  `geo-intersect-lines-iff`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}l1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}l2\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)  THEN  ExRepD)
    THEN  Unfold  `geo-line-sep`  19
    THEN  ExRepD)
  THEN  ((Assert  p3  I  l1  BY  EAuto  1)  THEN  (Assert  p3  \#  l2  BY  EAuto  1))
  THEN  (RenameVar  `S1'  (25)  THEN  RenameVar  `S2'  (26))
  THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}<p3,  l2,  l1,  S1,  S2>\mkleeneclose{}    THENA  Auto))

---

Home Index