---

Step * 1 1 of Lemma Prop22-inequality-to-triangle-construction


1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. |ac| < |ab| + |bc|
6. |ab| < |ac| + |bc|
7. |bc| < |ac| + |ab|
8. a ≠ b
9. b ≠ c
10. c ≠ a
11. x : Point
12. b-a-x
13. ax ≅ OX
14. y : Point
15. a-b-y
16. by ≅ OX
17. c1 : Point
18. x-a-c1
19. ac1 ≅ ac
20. c2 : Point
21. y-b-c2
22. bc2 ≅ bc
23. c1' : Point
24. b-a-c1'
25. ac1' ≅ ac1
26. c2' : Point
27. a-b-c2'
28. bc2' ≅ bc2
29. c1'' : Point
30. a_b_c1'' ∧ bc1'' ≅ bc1
31. c2'' : Point
32. b_a_c2'' ∧ ac2'' ≅ ac2
⊢ ∃c1,c2:Point. ((ac ≅ ac1 ∧ bc2 > bc1) ∧ bc ≅ bc2 ∧ ac1 > ac2)
BY
{ (ExRepD
   THEN (Assert a-c1-c2' BY
               (((Assert |ac| = |ac1| ∈ Length BY
                        Auto)
                 THEN (Assert |ab| + |bc| = |ac2'| ∈ Length BY
                             ((Assert a_b_c2' BY Auto) THEN FLemma `geo-add-length-between` [-1] THEN Auto))
                 )
                THEN ((RWO "-1" 5 THENA Auto) THEN (RWO "-3" 36 THENA Auto))
                THEN (InstLemma `geo-lt-out-to-between` [⌜e⌝;⌜a⌝;⌜c1⌝;⌜c2'⌝]⋅ THEN Auto)
                THEN (InstLemma `geo-out-iff-between1` [⌜e⌝;⌜a⌝;⌜c1⌝;⌜c2'⌝;⌜c1'⌝]⋅ THEN Auto)
                THEN (InstLemma `extended-out-preserves-between` [⌜e⌝;⌜a⌝;⌜b⌝;⌜c1⌝;⌜c1'⌝]⋅ THEN Auto)
                THEN (InstLemma `geo-out-iff-between1` [⌜e⌝;⌜a⌝;⌜b⌝;⌜c1⌝;⌜x⌝]⋅ THEN Auto)
                THEN D -2
                THEN Auto))
   ) }

1
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. |ac| < |ab| + |bc|
6. |ab| < |ac| + |bc|
7. |bc| < |ac| + |ab|
8. a ≠ b
9. b ≠ c
10. c ≠ a
11. x : Point
12. b-a-x
13. ax ≅ OX
14. y : Point
15. a-b-y
16. by ≅ OX
17. c1 : Point
18. x-a-c1
19. ac1 ≅ ac
20. c2 : Point
21. y-b-c2
22. bc2 ≅ bc
23. c1' : Point
24. b-a-c1'
25. ac1' ≅ ac1
26. c2' : Point
27. a-b-c2'
28. bc2' ≅ bc2
29. c1'' : Point
30. a_b_c1''
31. bc1'' ≅ bc1
32. c2'' : Point
33. b_a_c2''
34. ac2'' ≅ ac2
35. a-c1-c2'
⊢ ∃c1,c2:Point. ((ac ≅ ac1 ∧ bc2 > bc1) ∧ bc ≅ bc2 ∧ ac1 > ac2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanPlane
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  |ac|  <  |ab|  +  |bc|
6.  |ab|  <  |ac|  +  |bc|
7.  |bc|  <  |ac|  +  |ab|
8.  a  \mneq{}  b
9.  b  \mneq{}  c
10.  c  \mneq{}  a
11.  x  :  Point
12.  b-a-x
13.  ax  \mcong{}  OX
14.  y  :  Point
15.  a-b-y
16.  by  \mcong{}  OX
17.  c1  :  Point
18.  x-a-c1
19.  ac1  \mcong{}  ac
20.  c2  :  Point
21.  y-b-c2
22.  bc2  \mcong{}  bc
23.  c1'  :  Point
24.  b-a-c1'
25.  ac1'  \mcong{}  ac1
26.  c2'  :  Point
27.  a-b-c2'
28.  bc2'  \mcong{}  bc2
29.  c1''  :  Point
30.  a\_b\_c1''  \mwedge{}  bc1''  \mcong{}  bc1
31.  c2''  :  Point
32.  b\_a\_c2''  \mwedge{}  ac2''  \mcong{}  ac2
\mvdash{}  \mexists{}c1,c2:Point.  ((ac  \mcong{}  ac1  \mwedge{}  bc2  >  bc1)  \mwedge{}  bc  \mcong{}  bc2  \mwedge{}  ac1  >  ac2)


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  (Assert  a-c1-c2'  BY
                          (((Assert  |ac|  =  |ac1|  BY
                                            Auto)
                              THEN  (Assert  |ab|  +  |bc|  =  |ac2'|  BY
                                                      ((Assert  a\_b\_c2'  BY
                                                                      Auto)
                                                        THEN  FLemma  `geo-add-length-between`  [-1]
                                                        THEN  Auto))
                              )
                            THEN  ((RWO  "-1"  5  THENA  Auto)  THEN  (RWO  "-3"  36  THENA  Auto))
                            THEN  (InstLemma  `geo-lt-out-to-between`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c2'\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
                            THEN  (InstLemma  `geo-out-iff-between1`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c2'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c1'\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
                            THEN  (InstLemma  `extended-out-preserves-between`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c1'\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
                            THEN  (InstLemma  `geo-out-iff-between1`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
                            THEN  D  -2
                            THEN  Auto))
  )

---

Home Index