---

Step * 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma common-P_point-intersecting-P_lines2


1. e : EuclideanParPlane
2. p : Point
3. l : Line
4. n : Line
5. P4 : p I n
6. P5 : p # l
7. l2 : Line
8. L3 : p:Point × n:{n:Line| p I n}  × p # l2
9. l1 : Line
10. L2 : p:Point × n:{n:Line| p I n}  × p # l1
11. ¬((l \/ l2 ∨ n \/ l2) ∧ (∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l2))
12. ¬((l \/ l1 ∨ n \/ l1) ∧ (∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l1))
13. l2 \/ l1
14. ∀l,m,n:Line.  (l \/ m ⇒ (l \/ n ∨ m \/ n))
15. l1 \/ l
16. l1 \/ n
17. l1 \/ l ⇐ (l1 # l) ∧ (∃x:Point. (x I l1 ∧ x I l))
18. (l1 # l)
19. x : Point
20. x I l1
21. x I l
22. x I l
23. x # n
24. l1 \/ n ⇐ (l1 # n) ∧ (∃x:Point. (x I l1 ∧ x I n))
25. (l1 # n)
26. x1 : Point
27. x1 I l1
28. x1 I n
29. l \/ n
30. l \/ n ⇐ (l # n) ∧ (∃x:Point. (x I l ∧ x I n))
31. (l # n)
32. x2 : Point
33. x2 I l
34. x2 I n
35. x1 # x2
⊢ False
BY
{ (((D 12 THEN Auto) THEN InstLemma `geo-intersect-unique` [⌜e⌝;⌜l⌝;⌜n⌝;⌜x3⌝;⌜x2⌝] ⋅ THEN Auto)
   THEN (EliminatePoint (-1) THEN Auto)
   THEN Unfold `geo-plsep` 0
   THEN Unfold `geo-plsep` 23
   THEN (InstLemma `geo-sep-or` [⌜e⌝;⌜fst(n)⌝;⌜fst(snd(n))⌝;⌜x1⌝]⋅ THEN Auto)
   THEN D -1) }

1
1. e : EuclideanParPlane
2. x2 : Point
3. p : Point
4. l : Line
5. n : Line
6. P4 : p I n
7. P5 : p # l
8. l2 : Line
9. L3 : p:Point × n:{n:Line| p I n}  × p # l2
10. l1 : Line
11. L2 : p:Point × n:{n:Line| p I n}  × p # l1
12. ¬((l \/ l2 ∨ n \/ l2) ∧ (∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l2))
13. l2 \/ l1
14. ∀l,m,n:Line.  (l \/ m ⇒ (l \/ n ∨ m \/ n))
15. l1 \/ l
16. l1 \/ n
17. l1 \/ l ⇐ (l1 # l) ∧ (∃x:Point. (x I l1 ∧ x I l))
18. (l1 # l)
19. x : Point
20. x I l1
21. x I l
22. x I l
23. x # fst(n)fst(snd(n))
24. l1 \/ n ⇐ (l1 # n) ∧ (∃x:Point. (x I l1 ∧ x I n))
25. (l1 # n)
26. x1 : Point
27. x1 I l1
28. x1 I n
29. l \/ n
30. l \/ n ⇐ (l # n) ∧ (∃x:Point. (x I l ∧ x I n))
31. (l # n)
32. x2 I l
33. x2 I n
34. x1 # x2
35. l \/ l1 ∨ n \/ l1
36. x3 : {x:Point| x I l ∧ x I n} 
37. x3 ≡ x2
38. fst(n) # x1
⊢ x2 # fst(l1)fst(snd(l1))

2
1. e : EuclideanParPlane
2. x2 : Point
3. p : Point
4. l : Line
5. n : Line
6. P4 : p I n
7. P5 : p # l
8. l2 : Line
9. L3 : p:Point × n:{n:Line| p I n}  × p # l2
10. l1 : Line
11. L2 : p:Point × n:{n:Line| p I n}  × p # l1
12. ¬((l \/ l2 ∨ n \/ l2) ∧ (∀x:{x:Point| x I l ∧ x I n} . x # l2))
13. l2 \/ l1
14. ∀l,m,n:Line.  (l \/ m ⇒ (l \/ n ∨ m \/ n))
15. l1 \/ l
16. l1 \/ n
17. l1 \/ l ⇐ (l1 # l) ∧ (∃x:Point. (x I l1 ∧ x I l))
18. (l1 # l)
19. x : Point
20. x I l1
21. x I l
22. x I l
23. x # fst(n)fst(snd(n))
24. l1 \/ n ⇐ (l1 # n) ∧ (∃x:Point. (x I l1 ∧ x I n))
25. (l1 # n)
26. x1 : Point
27. x1 I l1
28. x1 I n
29. l \/ n
30. l \/ n ⇐ (l # n) ∧ (∃x:Point. (x I l ∧ x I n))
31. (l # n)
32. x2 I l
33. x2 I n
34. x1 # x2
35. l \/ l1 ∨ n \/ l1
36. x3 : {x:Point| x I l ∧ x I n} 
37. x3 ≡ x2
38. fst(snd(n)) # x1
⊢ x2 # fst(l1)fst(snd(l1))

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanParPlane
2.  p  :  Point
3.  l  :  Line
4.  n  :  Line
5.  P4  :  p  I  n
6.  P5  :  p  \#  l
7.  l2  :  Line
8.  L3  :  p:Point  \mtimes{}  n:\{n:Line|  p  I  n\}    \mtimes{}  p  \#  l2
9.  l1  :  Line
10.  L2  :  p:Point  \mtimes{}  n:\{n:Line|  p  I  n\}    \mtimes{}  p  \#  l1
11.  \mneg{}((l  \mbackslash{}/  l2  \mvee{}  n  \mbackslash{}/  l2)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\{x:Point|  x  I  l  \mwedge{}  x  I  n\}  .  x  \#  l2))
12.  \mneg{}((l  \mbackslash{}/  l1  \mvee{}  n  \mbackslash{}/  l1)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\{x:Point|  x  I  l  \mwedge{}  x  I  n\}  .  x  \#  l1))
13.  l2  \mbackslash{}/  l1
14.  \mforall{}l,m,n:Line.    (l  \mbackslash{}/  m  {}\mRightarrow{}  (l  \mbackslash{}/  n  \mvee{}  m  \mbackslash{}/  n))
15.  l1  \mbackslash{}/  l
16.  l1  \mbackslash{}/  n
17.  l1  \mbackslash{}/  l  \mLeftarrow{}{}  (l1  \#  l)  \mwedge{}  (\mexists{}x:Point.  (x  I  l1  \mwedge{}  x  I  l))
18.  (l1  \#  l)
19.  x  :  Point
20.  x  I  l1
21.  x  I  l
22.  x  I  l
23.  x  \#  n
24.  l1  \mbackslash{}/  n  \mLeftarrow{}{}  (l1  \#  n)  \mwedge{}  (\mexists{}x:Point.  (x  I  l1  \mwedge{}  x  I  n))
25.  (l1  \#  n)
26.  x1  :  Point
27.  x1  I  l1
28.  x1  I  n
29.  l  \mbackslash{}/  n
30.  l  \mbackslash{}/  n  \mLeftarrow{}{}  (l  \#  n)  \mwedge{}  (\mexists{}x:Point.  (x  I  l  \mwedge{}  x  I  n))
31.  (l  \#  n)
32.  x2  :  Point
33.  x2  I  l
34.  x2  I  n
35.  x1  \#  x2
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
(((D  12  THEN  Auto)  THEN  InstLemma  `geo-intersect-unique`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}l\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x3\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x2\mkleeneclose{}]  \mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  (EliminatePoint  (-1)  THEN  Auto)
  THEN  Unfold  `geo-plsep`  0
  THEN  Unfold  `geo-plsep`  23
  THEN  (InstLemma  `geo-sep-or`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}fst(n)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}fst(snd(n))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x1\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  D  -1)

---

Home Index