---

Step * 2 2 2 1 of Lemma tarski-erect-perp-same-side


1. e : HeytingGeometry
2. p : Point
3. a : Point
4. b : Point
5. c : Point
6. c # ba
7. x : Point
8. Colinear(a;b;x)
9. ab  ⊥x cx
10. b # x
11. c1 : Point
12. c' : Point
13. c=b=c1
14. c=x=c'
15. c'b ≅ cb
16. c' # c1b
17. b # cc'
18. c1=p=c'
19. ba  ⊥b pb
20. p # ba
21. d : Point
22. p-b-d
23. bd ≅ pb
24. c2 : Point
25. c3 : Point
26. p1 : Point
27. d=a=c2
28. d=b=p
29. pa ≅ da
30. p # c2a
31. a # dp
32. c2=p1=p
33. ab  ⊥a p1a
34. p1 # ab
35. c3 ≡ p
⊢ ∃p,t,d:Point. (((ab ⊥ pa ∧ Colinear(a;b;t)) ∧ p-t-d) ∧ geo-tar-same-side(e;c;d;a;b))
BY
{ ((Thin (-1) THEN Thin (25))
   THEN (InstLemma `double-pasch-exists` [⌜e⌝;⌜c2⌝;⌜a⌝;⌜d⌝;⌜p⌝;⌜b⌝;⌜p1⌝]⋅
         THENA ((Auto THEN (InstLemma `midpoint-sep` [⌜e⌝;⌜c2⌝;⌜p⌝;⌜p1⌝]⋅ THENA Auto))
                THEN Auto
                THEN ∀h:hyp. (Unfold `geo-midpoint` h THEN Auto) 
                THEN D 0
                THEN Auto)
         )
   ) }

1
1. e : HeytingGeometry
2. p : Point
3. a : Point
4. b : Point
5. c : Point
6. c # ba
7. x : Point
8. Colinear(a;b;x)
9. ab  ⊥x cx
10. b # x
11. c1 : Point
12. c' : Point
13. c=b=c1
14. c=x=c'
15. c'b ≅ cb
16. c' # c1b
17. b # cc'
18. c1=p=c'
19. ba  ⊥b pb
20. p # ba
21. d : Point
22. p-b-d
23. bd ≅ pb
24. c2 : Point
25. p1 : Point
26. d=a=c2
27. d=b=p
28. pa ≅ da
29. p # c2a
30. a # dp
31. c2=p1=p
32. ab  ⊥a p1a
33. p1 # ab
34. ∃q:Point. (p1-q-d ∧ a-q-b)
⊢ ∃p,t,d:Point. (((ab ⊥ pa ∧ Colinear(a;b;t)) ∧ p-t-d) ∧ geo-tar-same-side(e;c;d;a;b))

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  HeytingGeometry
2.  p  :  Point
3.  a  :  Point
4.  b  :  Point
5.  c  :  Point
6.  c  \#  ba
7.  x  :  Point
8.  Colinear(a;b;x)
9.  ab    \mbot{}x  cx
10.  b  \#  x
11.  c1  :  Point
12.  c'  :  Point
13.  c=b=c1
14.  c=x=c'
15.  c'b  \mcong{}  cb
16.  c'  \#  c1b
17.  b  \#  cc'
18.  c1=p=c'
19.  ba    \mbot{}b  pb
20.  p  \#  ba
21.  d  :  Point
22.  p-b-d
23.  bd  \mcong{}  pb
24.  c2  :  Point
25.  c3  :  Point
26.  p1  :  Point
27.  d=a=c2
28.  d=b=p
29.  pa  \mcong{}  da
30.  p  \#  c2a
31.  a  \#  dp
32.  c2=p1=p
33.  ab    \mbot{}a  p1a
34.  p1  \#  ab
35.  c3  \mequiv{}  p
\mvdash{}  \mexists{}p,t,d:Point.  (((ab  \mbot{}  pa  \mwedge{}  Colinear(a;b;t))  \mwedge{}  p-t-d)  \mwedge{}  geo-tar-same-side(e;c;d;a;b))


By

---

Latex:
((Thin  (-1)  THEN  Thin  (25))
  THEN  (InstLemma  `double-pasch-exists`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  ((Auto  THEN  (InstLemma  `midpoint-sep`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p1\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto))
                            THEN  Auto
                            THEN  \mforall{}h:hyp.  (Unfold  `geo-midpoint`  h  THEN  Auto) 
                            THEN  D  0
                            THEN  Auto)
              )
  )

---

Home Index