---

Step * 2 1 1 1 of Lemma ip-circle-circle-lemma1


1. rv : InnerProductSpace
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : Point(rv)
5. r0 < ||b||
6. b' : Point(rv)
7. b ⋅ b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. cc : ℝ
10. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
11. cc^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. x : Point(rv)
17. x ≡ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b' ∨ x ≡ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'
⊢ ||b||^2*x^2 = (||b||^2 * ||b||^2 * r1^2)
BY
{ (Assert ||b||^2*x^2 = (((cc/r(2)) * (cc/r(2)) * b^2) + (b'^2 * v * v)) BY
         (D -1
          THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
          THEN (GenConclTerm ⌜(cc/r(2))⌝⋅ THENA Auto)
          THEN (RWO "rv-mul-mul" 0 THENA Auto)
          THEN (Assert (||b||^2 * (r1/||b||^2)) = r1 BY
                      (nRNorm 0 THEN Auto))
          THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
          THEN (RWO "rv-mul1" 0 THENA Auto)
          THEN (RWO "rv-ip-add-squared rv-ip-sub-squared" 0⋅ THENA Auto)
          THEN (RWW "rv-ip-mul rv-ip-mul2 7" 0 THENA Auto)
          THEN nRNorm 0
          THEN Auto)) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : Point(rv)
5. r0 < ||b||
6. b' : Point(rv)
7. b ⋅ b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. cc : ℝ
10. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
11. cc^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. x : Point(rv)
17. x ≡ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b' ∨ x ≡ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'
18. ||b||^2*x^2 = (((cc/r(2)) * (cc/r(2)) * b^2) + (b'^2 * v * v))
⊢ ||b||^2*x^2 = (||b||^2 * ||b||^2 * r1^2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  r1  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
3.  r2  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
4.  b  :  Point(rv)
5.  r0  <  ||b||
6.  b'  :  Point(rv)
7.  b  \mcdot{}  b'  =  r0
8.  ||b'||  =  ||b||
9.  cc  :  \mBbbR{}
10.  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2)  =  cc
11.  cc\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2)
12.  r0  \mleq{}  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)
13.  r0  <  ||b||\^{}2
14.  v  :  \{r:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  ((r  *  r)  =  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2))\} 
15.  rsqrt((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)  =  v
16.  x  :  Point(rv)
17.  x  \mequiv{}  (r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  +  v*b'  \mvee{}  x  \mequiv{}  (r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b'
\mvdash{}  ||b||\^{}2*x\^{}2  =  (||b||\^{}2  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2)


By

---

Latex:
(Assert  ||b||\^{}2*x\^{}2  =  (((cc/r(2))  *  (cc/r(2))  *  b\^{}2)  +  (b'\^{}2  *  v  *  v))  BY
              (D  -1
                THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
                THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}(cc/r(2))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  (RWO  "rv-mul-mul"  0  THENA  Auto)
                THEN  (Assert  (||b||\^{}2  *  (r1/||b||\^{}2))  =  r1  BY
                                        (nRNorm  0  THEN  Auto))
                THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
                THEN  (RWO  "rv-mul1"  0  THENA  Auto)
                THEN  (RWO  "rv-ip-add-squared  rv-ip-sub-squared"  0\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  (RWW  "rv-ip-mul  rv-ip-mul2  7"  0  THENA  Auto)
                THEN  nRNorm  0
                THEN  Auto))

---

Home Index