---

Step * 2 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma ip-circle-circle-lemma1


1. rv : InnerProductSpace
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : Point(rv)
5. r0 < ||b||
6. b' : Point(rv)
7. b ⋅ b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. cc : ℝ
10. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
11. cc^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. x : Point(rv)
17. x ≡ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b' ∨ x ≡ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'
18. y : Point(rv)
19. ||b||^2*x = y ∈ Point(rv)
20. y ≡ (cc/r(2))*b + v*b' ∨ y ≡ (cc/r(2))*b - v*b'
21. z : Point(rv)
22. y - ||b||^2*b = z ∈ Point(rv)
23. z ≡ (cc/r(2)) - ||b||^2*b + v*b' ∨ z ≡ (cc/r(2)) - ||b||^2*b - v*b'
⊢ z^2 = (||b||^2 * ||b||^2 * r2^2)
BY
{ (Assert z^2 = (((cc/r(2)) - ||b||^2^2 + ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)) * ||b||^2) BY
         (D -1
          THEN (RWO  "-1" 0 THENA Auto)
          THEN (GenConclTerm ⌜(cc/r(2)) - ||b||^2⌝⋅ THENA Auto)
          THEN (RWW "rv-ip-add-squared rv-ip-sub-squared" 0 THENA Auto)
          THEN (RWW "rv-ip-mul rv-ip-mul2 7 rmul_assoc<" 0 THENA Auto)
          THEN (DVar `v' THEN (Unhide THENA Auto) THEN ExRepD)
          THEN (RWW "-12< rv-norm-squared< 8" 0 THENA Auto)
          THEN (RWO "rnexp2<" 0 THENA Auto)
          THEN nRNorm 0
          THEN Auto)) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : Point(rv)
5. r0 < ||b||
6. b' : Point(rv)
7. b ⋅ b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. cc : ℝ
10. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
11. cc^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. x : Point(rv)
17. x ≡ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b' ∨ x ≡ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'
18. y : Point(rv)
19. ||b||^2*x = y ∈ Point(rv)
20. y ≡ (cc/r(2))*b + v*b' ∨ y ≡ (cc/r(2))*b - v*b'
21. z : Point(rv)
22. y - ||b||^2*b = z ∈ Point(rv)
23. z ≡ (cc/r(2)) - ||b||^2*b + v*b' ∨ z ≡ (cc/r(2)) - ||b||^2*b - v*b'
24. z^2 = (((cc/r(2)) - ||b||^2^2 + ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)) * ||b||^2)
⊢ z^2 = (||b||^2 * ||b||^2 * r2^2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  r1  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
3.  r2  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
4.  b  :  Point(rv)
5.  r0  <  ||b||
6.  b'  :  Point(rv)
7.  b  \mcdot{}  b'  =  r0
8.  ||b'||  =  ||b||
9.  cc  :  \mBbbR{}
10.  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2)  =  cc
11.  cc\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2)
12.  r0  \mleq{}  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)
13.  r0  <  ||b||\^{}2
14.  v  :  \{r:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  ((r  *  r)  =  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2))\} 
15.  rsqrt((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)  =  v
16.  x  :  Point(rv)
17.  x  \mequiv{}  (r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  +  v*b'  \mvee{}  x  \mequiv{}  (r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b'
18.  y  :  Point(rv)
19.  ||b||\^{}2*x  =  y
20.  y  \mequiv{}  (cc/r(2))*b  +  v*b'  \mvee{}  y  \mequiv{}  (cc/r(2))*b  -  v*b'
21.  z  :  Point(rv)
22.  y  -  ||b||\^{}2*b  =  z
23.  z  \mequiv{}  (cc/r(2))  -  ||b||\^{}2*b  +  v*b'  \mvee{}  z  \mequiv{}  (cc/r(2))  -  ||b||\^{}2*b  -  v*b'
\mvdash{}  z\^{}2  =  (||b||\^{}2  *  ||b||\^{}2  *  r2\^{}2)


By

---

Latex:
(Assert  z\^{}2  =  (((cc/r(2))  -  ||b||\^{}2\^{}2  +  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2))  *  ||b||\^{}2)  BY
              (D  -1
                THEN  (RWO    "-1"  0  THENA  Auto)
                THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}(cc/r(2))  -  ||b||\^{}2\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  (RWW  "rv-ip-add-squared  rv-ip-sub-squared"  0  THENA  Auto)
                THEN  (RWW  "rv-ip-mul  rv-ip-mul2  7  rmul\_assoc<"  0  THENA  Auto)
                THEN  (DVar  `v'  THEN  (Unhide  THENA  Auto)  THEN  ExRepD)
                THEN  (RWW  "-12<  rv-norm-squared<  8"  0  THENA  Auto)
                THEN  (RWO  "rnexp2<"  0  THENA  Auto)
                THEN  nRNorm  0
                THEN  Auto))

---

Home Index