---

Step * 1 2 1 2 of Lemma ip-circle-circle-lemma3


1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point(rv)
3. b : Point(rv)
4. c : {c:Point(rv)| a # c} 
5. r0 < ||c - a||
6. d : Point(rv)
7. p : {p:Point(rv)| (||a - b|| = ||a - p||) ∧ (||c - p|| ≤ ||c - d||)} 
8. q : {q:Point(rv)| (||c - d|| = ||c - q||) ∧ (||a - q|| ≤ ||a - b||)} 
9. ||c - p|| ≤ ||c - d||
10. ||a - q|| ≤ ||a - b||
11. ||c - d||^2 ≤ ||a - b|| + ||c - a||^2
⊢ (||a - b||^2 - ||c - d||^2) + ||c - a||^2^2 ≤ (r(4) * ||c - a||^2 * ||a - b||^2)
BY
{ Assert ⌜|||a - b|| - ||c - a|||^2 ≤ ||c - d||^2⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point(rv)
3. b : Point(rv)
4. c : {c:Point(rv)| a # c} 
5. r0 < ||c - a||
6. d : Point(rv)
7. p : {p:Point(rv)| (||a - b|| = ||a - p||) ∧ (||c - p|| ≤ ||c - d||)} 
8. q : {q:Point(rv)| (||c - d|| = ||c - q||) ∧ (||a - q|| ≤ ||a - b||)} 
9. ||c - p|| ≤ ||c - d||
10. ||a - q|| ≤ ||a - b||
11. ||c - d||^2 ≤ ||a - b|| + ||c - a||^2
⊢ |||a - b|| - ||c - a|||^2 ≤ ||c - d||^2

2
1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point(rv)
3. b : Point(rv)
4. c : {c:Point(rv)| a # c} 
5. r0 < ||c - a||
6. d : Point(rv)
7. p : {p:Point(rv)| (||a - b|| = ||a - p||) ∧ (||c - p|| ≤ ||c - d||)} 
8. q : {q:Point(rv)| (||c - d|| = ||c - q||) ∧ (||a - q|| ≤ ||a - b||)} 
9. ||c - p|| ≤ ||c - d||
10. ||a - q|| ≤ ||a - b||
11. ||c - d||^2 ≤ ||a - b|| + ||c - a||^2
12. |||a - b|| - ||c - a|||^2 ≤ ||c - d||^2
⊢ (||a - b||^2 - ||c - d||^2) + ||c - a||^2^2 ≤ (r(4) * ||c - a||^2 * ||a - b||^2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  a  :  Point(rv)
3.  b  :  Point(rv)
4.  c  :  \{c:Point(rv)|  a  \#  c\} 
5.  r0  <  ||c  -  a||
6.  d  :  Point(rv)
7.  p  :  \{p:Point(rv)|  (||a  -  b||  =  ||a  -  p||)  \mwedge{}  (||c  -  p||  \mleq{}  ||c  -  d||)\} 
8.  q  :  \{q:Point(rv)|  (||c  -  d||  =  ||c  -  q||)  \mwedge{}  (||a  -  q||  \mleq{}  ||a  -  b||)\} 
9.  ||c  -  p||  \mleq{}  ||c  -  d||
10.  ||a  -  q||  \mleq{}  ||a  -  b||
11.  ||c  -  d||\^{}2  \mleq{}  ||a  -  b||  +  ||c  -  a||\^{}2
\mvdash{}  (||a  -  b||\^{}2  -  ||c  -  d||\^{}2)  +  ||c  -  a||\^{}2\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||c  -  a||\^{}2  *  ||a  -  b||\^{}2)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}|||a  -  b||  -  ||c  -  a|||\^{}2  \mleq{}  ||c  -  d||\^{}2\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index