---

Step * 3 of Lemma constrained-antichain-lattice_wf


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. ↑(P {})
6. Order({ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;x.P x)} ;x,y.fset-ac-le(eq;x;y))
7. ∀[a,b:{ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;x.P x)} ].
     least-upper-bound({ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;x.P x)} ;x,y.fset-ac-le(eq;x;y);
                       a;b;lub(P;a;b))
8. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;x.P x)} 
9. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;x.P x)} 
⊢ greatest-lower-bound({ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;x.P x)} ;x,y.fset-ac-le(eq;x;y);a;b;glb\000C(P;a;b))
BY
{ (InstLemma_o (ioid Obid: fset-constrained-ac-glb-is-glb) [⌜T⌝;⌜eq⌝;⌜P⌝]⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  \mforall{}x,y:fset(T).    (y  \msubseteq{}  x  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  x))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  y)))
5.  \muparrow{}(P  \{\})
6.  Order(\{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;x.P  x)\}  ;x,y.fset-ac-le(eq;x;y))
7.  \mforall{}[a,b:\{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;x.P  x)\}  ].
          least-upper-bound(\{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;x.P  x)\}  ;
                                              x,y.fset-ac-le(eq;x;y);a;b;lub(P;a;b))
8.  a  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;x.P  x)\} 
9.  b  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;x.P  x)\} 
\mvdash{}  greatest-lower-bound(\{ac:fset(fset(T))| 
                                                (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;x.P  x)\}  ;x,y.fset-ac-le(eq;x;y);a;b;g\000Clb(P;a;b))


By

---

Latex:
(InstLemma\_o  (ioid  Obid:  fset-constrained-ac-glb-is-glb)  [\mkleeneopen{}T\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}eq\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}P\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index