---

Step * 4 of Lemma constrained-antichain-lattice_wf


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. ↑(P {})
6. Order({ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;x.P x)} ;x,y.fset-ac-le(eq;x;y))
7. ∀[a,b:{ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;x.P x)} ].
     least-upper-bound({ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;x.P x)} ;x,y.fset-ac-le(eq;x;y);
                       a;b;lub(P;a;b))
8. ∀[a,b:{ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;x.P x)} ].
     greatest-lower-bound({ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;x.P x)} ;x,y.fset-ac-le(eq;x;y);a;b;\000Cglb(P;a;b))
9. ∀[a:{ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;x.P x)} ]. fset-ac-le(eq;a;{{}})
10. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;x.P x)} 
⊢ fset-ac-le(eq;{};a)
BY
{ (RWO "empty-fset-ac-le" 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  \mforall{}x,y:fset(T).    (y  \msubseteq{}  x  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  x))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  y)))
5.  \muparrow{}(P  \{\})
6.  Order(\{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;x.P  x)\}  ;x,y.fset-ac-le(eq;x;y))
7.  \mforall{}[a,b:\{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;x.P  x)\}  ].
          least-upper-bound(\{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;x.P  x)\}  ;
                                              x,y.fset-ac-le(eq;x;y);a;b;lub(P;a;b))
8.  \mforall{}[a,b:\{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;x.P  x)\}  ].
          greatest-lower-bound(\{ac:fset(fset(T))| 
                                                      (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;x.P  x)\}  ;x,y.fset-ac-le(eq;x;y);a;\000Cb;glb(P;a;b))
9.  \mforall{}[a:\{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;x.P  x)\}  ].  fset-ac-le(eq;a;\{\{\}\})
10.  a  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;x.P  x)\} 
\mvdash{}  fset-ac-le(eq;\{\};a)


By

---

Latex:
(RWO  "empty-fset-ac-le"  0  THEN  Auto)

---

Home Index