---

Step * 1 1 1 of Lemma implies-le-face-lattice-join3


1. T : Type@i'
2. eq : EqDecider(T)@i
3. Point(face-lattice(T;eq)) ⊆r fset(fset(T + T))
4. u : Point(face-lattice(T;eq))@i
5. x : Point(face-lattice(T;eq))@i
6. y : Point(face-lattice(T;eq))@i
7. z : Point(face-lattice(T;eq))@i
8. ∀s:fset(T + T)
     (s ∈ z
     ⇒ ((↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);u;s))
        ∨ (↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);x;s))
        ∨ (↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);y;s))))@i
9. s : fset(T + T)@i
10. s ∈ z@i
11. (↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);u;s))
∨ (↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);x;s))
∨ (↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);y;s))
⊢ ↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;
                       eq);lub(λs.fset-contains-none(union-deq(T;T;eq;
                                                               eq);s;x.face-lattice-constraints(x));u;lub(...;x;y));s)
BY
{ ((All (RWO "fl-point-sq") THENA Auto)
   THEN (RepUR ``fset-constrained-ac-lub`` 0 THEN BLemma `fset-ac-lub-covers`)
   THEN Auto) }

1
1. T : Type@i'
2. eq : EqDecider(T)@i
3. {ac:fset(fset(T + T))| 
    (↑fset-antichain(union-deq(T;T;eq;eq);ac))
    ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(union-deq(T;T;eq;eq);a;x.face-lattice-constraints(x)))}  ⊆r fset(fset(T + T))
4. u : {ac:fset(fset(T + T))| 
        (↑fset-antichain(union-deq(T;T;eq;eq);ac))
        ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(union-deq(T;T;eq;eq);a;x.face-lattice-constraints(x)))} @i
5. x : {ac:fset(fset(T + T))| 
        (↑fset-antichain(union-deq(T;T;eq;eq);ac))
        ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(union-deq(T;T;eq;eq);a;x.face-lattice-constraints(x)))} @i
6. y : {ac:fset(fset(T + T))| 
        (↑fset-antichain(union-deq(T;T;eq;eq);ac))
        ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(union-deq(T;T;eq;eq);a;x.face-lattice-constraints(x)))} @i
7. z : {ac:fset(fset(T + T))| 
        (↑fset-antichain(union-deq(T;T;eq;eq);ac))
        ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(union-deq(T;T;eq;eq);a;x.face-lattice-constraints(x)))} @i
8. ∀s:fset(T + T)
     (s ∈ z
     ⇒ ((↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);u;s))
        ∨ (↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);x;s))
        ∨ (↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);y;s))))@i
9. s : fset(T + T)@i
10. s ∈ z@i
11. (↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);u;s))
∨ (↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);x;s))
∨ (↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);y;s))
⊢ (↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);u;s)) ∨ (↑ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);fset-ac-lub(union-deq(T;T;eq;eq);x;y);s))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type@i'
2.  eq  :  EqDecider(T)@i
3.  Point(face-lattice(T;eq))  \msubseteq{}r  fset(fset(T  +  T))
4.  u  :  Point(face-lattice(T;eq))@i
5.  x  :  Point(face-lattice(T;eq))@i
6.  y  :  Point(face-lattice(T;eq))@i
7.  z  :  Point(face-lattice(T;eq))@i
8.  \mforall{}s:fset(T  +  T)
          (s  \mmember{}  z
          {}\mRightarrow{}  ((\muparrow{}ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);u;s))
                \mvee{}  (\muparrow{}ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);x;s))
                \mvee{}  (\muparrow{}ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);y;s))))@i
9.  s  :  fset(T  +  T)@i
10.  s  \mmember{}  z@i
11.  (\muparrow{}ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);u;s))
\mvee{}  (\muparrow{}ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);x;s))
\mvee{}  (\muparrow{}ac-covers(union-deq(T;T;eq;eq);y;s))
\mvdash{}  \muparrow{}ac-covers(union-deq(T;T;eq;
                                              eq);lub(...;u;lub(\mlambda{}s.fset-contains-none(union-deq(T;T;eq;
                                                                                                                                                  eq);s;x....);x;y));s)


By

---

Latex:
((All  (RWO  "fl-point-sq")  THENA  Auto)
  THEN  (RepUR  ``fset-constrained-ac-lub``  0  THEN  BLemma  `fset-ac-lub-covers`)
  THEN  Auto)

---

Home Index