---

Step * of Lemma lattice-extend-meet

∀[T:Type]. ∀[eq:EqDecider(T)]. ∀[L:BoundedDistributiveLattice]. ∀[eqL:EqDecider(Point(L))]. ∀[f:T ⟶ Point(L)].
∀[a,b:Point(free-dist-lattice(T; eq))].
  lattice-extend(L;eq;eqL;f;a) ∧ lattice-extend(L;eq;eqL;f;b) ≤ lattice-extend(L;eq;eqL;f;a ∧ b)
BY
{ (Auto
   THEN (RWO "free-dl-meet" 0 THENA Auto)
   THEN Unfold `lattice-extend` 0
   THEN Fold `lattice-extend\'` 0
   THEN All (RWO "free-dl-point")
   THEN Auto
   THEN (Using [`b',⌜lattice-extend'(L;eq;eqL;f;f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(b)))⌝
         ] (BLemma `lattice-le_transitivity`)⋅
         THENA Auto
         )) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
⊢ lattice-extend'(L;eq;eqL;f;f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(b))) 
  ≤ lattice-extend'(L;eq;eqL;f;fset-ac-glb(eq;a;b))

2
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
⊢ lattice-extend'(L;eq;eqL;f;a) ∧ lattice-extend'(L;eq;eqL;f;b) 
  ≤ lattice-extend'(L;eq;eqL;f;f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(b)))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[T:Type].  \mforall{}[eq:EqDecider(T)].  \mforall{}[L:BoundedDistributiveLattice].  \mforall{}[eqL:EqDecider(Point(L))].
\mforall{}[f:T  {}\mrightarrow{}  Point(L)].  \mforall{}[a,b:Point(free-dist-lattice(T;  eq))].
    lattice-extend(L;eq;eqL;f;a)  \mwedge{}  lattice-extend(L;eq;eqL;f;b)  \mleq{}  lattice-extend(L;eq;eqL;f;a  \mwedge{}  b)


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (RWO  "free-dl-meet"  0  THENA  Auto)
  THEN  Unfold  `lattice-extend`  0
  THEN  Fold  `lattice-extend\mbackslash{}'`  0
  THEN  All  (RWO  "free-dl-point")
  THEN  Auto
  THEN  (Using  [`b',\mkleeneopen{}lattice-extend'(L;eq;eqL;f;f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"
                                                                                                                                                                          (b)))\mkleeneclose{}
              ]  (BLemma  `lattice-le\_transitivity`)\mcdot{}
              THENA  Auto
              ))

---

Home Index