---

Step * of Lemma double-sum-in-vs

∀[n,m:ℤ]. ∀[K:Rng]. ∀[vs:VectorSpace(K)]. ∀[l,u:{n..m + 1-} ⟶ ℤ]. ∀[h:x:{n..m + 1-} ⟶ {l[x]..u[x] + 1-} ⟶ Point(vs)].
  (Σ{Σ{h[x;y] | l[x]≤y≤u[x]} | n≤x≤m}
  = Σ{h[fst(p);snd(p)] | p ∈ ⋃x∈[n, m + 1).bag-map(λy.<x, y>;[l[x], u[x] + 1))}
  ∈ Point(vs))
BY
{ (Auto
   THEN Unfold `sum-in-vs` 0
   THEN InstLemma `vs-double-bag-add` 
   [⌜K⌝;⌜vs⌝;⌜{n..m + 1-}⌝;⌜λ2x.{l[x]..u[x] + 1-}⌝;⌜λ2x.[l[x], u[x] + 1)⌝;⌜h⌝;[n, m + 1)]⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[n,m:\mBbbZ{}].  \mforall{}[K:Rng].  \mforall{}[vs:VectorSpace(K)].  \mforall{}[l,u:\{n..m  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].  \mforall{}[h:x:\{n..m  +  1\msupminus{}\}
                                                                                                                                              {}\mrightarrow{}  \{l[x]..u[x]  +  1\msupminus{}\}
                                                                                                                                              {}\mrightarrow{}  Point(vs)].
    (\mSigma{}\{\mSigma{}\{h[x;y]  |  l[x]\mleq{}y\mleq{}u[x]\}  |  n\mleq{}x\mleq{}m\}
    =  \mSigma{}\{h[fst(p);snd(p)]  |  p  \mmember{}  \mcup{}x\mmember{}[n,  m  +  1).bag-map(\mlambda{}y.<x,  y>[l[x],  u[x]  +  1))\})


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  Unfold  `sum-in-vs`  0
  THEN  InstLemma  `vs-double-bag-add` 
  [\mkleeneopen{}K\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}vs\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\{n..m  +  1\msupminus{}\}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.\{l[x]..u[x]  +  1\msupminus{}\}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.[l[x],  u[x]  +  1)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}h\mkleeneclose{};[n,  m  +  1)]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index