---

Step * 2 of Lemma presheaf-fst_wf


1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. A : {X ⊢ _}
4. B : {X.A ⊢ _}
5. p : I:cat-ob(C) ⟶ a:X(I) ⟶ Σ A B(a)
6. ∀I,J:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀a:X(I).  ((p I a a f) = (p J f(a)) ∈ Σ A B(f(a)))
⊢ ∀I,J:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀a:X(I).  ((fst((p I a)) a f) = (fst((p J f(a)))) ∈ A(f(a)))
BY
{ ((Assert A ∈ X ⊢  BY
          Auto)
   THEN RepeatFor 2 (DVar `A')
   THEN (All Reduce THEN Auto)
   THEN (InstHyp [⌜I⌝;⌜J⌝;⌜f⌝;⌜a⌝] (-6)⋅ THENA Auto)) }

1
1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. A1 : I:cat-ob(C) ⟶ X(I) ⟶ Type
4. A2 : I:cat-ob(C) ⟶ J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
5. ∀I:cat-ob(C). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I (cat-id(C) I) a u) = u ∈ (A1 I a))
6. ∀I,J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (cat-comp(C) K J I g f) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K cat-comp(C) K J I g f(a)))
7. B : {X.<A1, A2> ⊢ _}
8. p : I:cat-ob(C) ⟶ a:X(I) ⟶ Σ <A1, A2> B(a)
9. ∀I,J:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀a:X(I).  ((p I a a f) = (p J f(a)) ∈ Σ <A1, A2> B(f(a)))
10. <A1, A2> ∈ X ⊢ 
11. I : cat-ob(C)
12. J : cat-ob(C)
13. f : cat-arrow(C) J I
14. a : X(I)
15. (p I a a f) = (p J f(a)) ∈ Σ <A1, A2> B(f(a))
⊢ (A2 I J f a (fst((p I a)))) = (fst((p J f(a)))) ∈ (A1 J f(a))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  X  :  ps\_context\{j:l\}(C)
3.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
4.  B  :  \{X.A  \mvdash{}  \_\}
5.  p  :  I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  \mSigma{}  A  B(a)
6.  \mforall{}I,J:cat-ob(C).  \mforall{}f:cat-arrow(C)  J  I.  \mforall{}a:X(I).    ((p  I  a  a  f)  =  (p  J  f(a)))
\mvdash{}  \mforall{}I,J:cat-ob(C).  \mforall{}f:cat-arrow(C)  J  I.  \mforall{}a:X(I).    ((fst((p  I  a))  a  f)  =  (fst((p  J  f(a)))))


By

---

Latex:
((Assert  A  \mmember{}  X  \mvdash{}    BY
                Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `A')
  THEN  (All  Reduce  THEN  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}J\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]  (-6)\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index