---

Step * 1 1 2 1 2 2 1 of Lemma 0-dim-complex-polyhedron


1. k : ℕ
2. K : 0-dim-complex
3. x : |K|
4. u : ℕk ⟶ ℚ
5. v : (ℕk ⟶ ℚ) List
6. no_repeats(ℕk ⟶ ℚ;v)
7. ¬(u ∈ v)
8. Stable{∃i:ℕ||v||. req-vec(k;x;λj.rat2real(v[i] j))}
9. ∀i:ℕ||v||. λj.rat2real(u j) ≠ λj.rat2real(v[i] j)
10. ∀k@0:ℕ||v||. λj.rat2real(v[k@0] j) ≠ x
11. ¬¬(∃i:ℕ||[u / v]||. req-vec(k;x;λj.rat2real([u / v][i] j)))
⊢ ∃i:ℕ||[u / v]||. req-vec(k;x;λj.rat2real([u / v][i] j))
BY
{ (Assert ¬¬req-vec(k;x;λj.rat2real(u j)) BY
         (RepeatFor 2 (ParallelLast)
          THEN D -1
          THEN (CaseNat 0 `i'
                THENL [(HypSubst' (-1) (-2) THEN Reduce -2 THEN Auto)
                      ; (Subst' [u / v][i] = v[i - 1] ∈ (ℕk ⟶ ℚ) -2 THENA Auto)]
          )
          THEN (Assert λj.rat2real(v[i - 1] j) ≠ x BY
                      BackThruSomeHyp)
          THEN (RWO "-3<" (-1) THENA Auto)
          THEN (Assert ⌜False⌝⋅ THEN Auto)
          THEN MoveToConcl (-1)
          THEN Fold `not` 0
          THEN Auto)) }

1
1. k : ℕ
2. K : 0-dim-complex
3. x : |K|
4. u : ℕk ⟶ ℚ
5. v : (ℕk ⟶ ℚ) List
6. no_repeats(ℕk ⟶ ℚ;v)
7. ¬(u ∈ v)
8. Stable{∃i:ℕ||v||. req-vec(k;x;λj.rat2real(v[i] j))}
9. ∀i:ℕ||v||. λj.rat2real(u j) ≠ λj.rat2real(v[i] j)
10. ∀k@0:ℕ||v||. λj.rat2real(v[k@0] j) ≠ x
11. ¬¬(∃i:ℕ||[u / v]||. req-vec(k;x;λj.rat2real([u / v][i] j)))
12. ¬¬req-vec(k;x;λj.rat2real(u j))
⊢ ∃i:ℕ||[u / v]||. req-vec(k;x;λj.rat2real([u / v][i] j))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  K  :  0-dim-complex
3.  x  :  |K|
4.  u  :  \mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  \mBbbQ{}
5.  v  :  (\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  \mBbbQ{})  List
6.  no\_repeats(\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  \mBbbQ{};v)
7.  \mneg{}(u  \mmember{}  v)
8.  Stable\{\mexists{}i:\mBbbN{}||v||.  req-vec(k;x;\mlambda{}j.rat2real(v[i]  j))\}
9.  \mforall{}i:\mBbbN{}||v||.  \mlambda{}j.rat2real(u  j)  \mneq{}  \mlambda{}j.rat2real(v[i]  j)
10.  \mforall{}k@0:\mBbbN{}||v||.  \mlambda{}j.rat2real(v[k@0]  j)  \mneq{}  x
11.  \mneg{}\mneg{}(\mexists{}i:\mBbbN{}||[u  /  v]||.  req-vec(k;x;\mlambda{}j.rat2real([u  /  v][i]  j)))
\mvdash{}  \mexists{}i:\mBbbN{}||[u  /  v]||.  req-vec(k;x;\mlambda{}j.rat2real([u  /  v][i]  j))


By

---

Latex:
(Assert  \mneg{}\mneg{}req-vec(k;x;\mlambda{}j.rat2real(u  j))  BY
              (RepeatFor  2  (ParallelLast)
                THEN  D  -1
                THEN  (CaseNat  0  `i'
                            THENL  [(HypSubst'  (-1)  (-2)  THEN  Reduce  -2  THEN  Auto)
                                        ;  (Subst'  [u  /  v][i]  =  v[i  -  1]  -2  THENA  Auto)]
                )
                THEN  (Assert  \mlambda{}j.rat2real(v[i  -  1]  j)  \mneq{}  x  BY
                                        BackThruSomeHyp)
                THEN  (RWO  "-3<"  (-1)  THENA  Auto)
                THEN  (Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)
                THEN  MoveToConcl  (-1)
                THEN  Fold  `not`  0
                THEN  Auto))

---

Home Index