---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma Degree-implies-BrowerFPT


1. n : ℕ
2. ind : sphere-map(n) ⟶ ℤ
3. ∀f,g:sphere-map(n).  (sphere-map-eq(n;f;g) ⇒ ((ind f) = (ind g) ∈ ℤ))
4. ∀p:S(n). ((ind const-sphere-map(p)) = 0 ∈ ℤ)
5. (ind id-sphere-map()) = 1 ∈ ℤ
6. g : B(n + 1) ⟶ B(n + 1)
7. ∀x,y:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;x;y) ⇒ req-vec(n + 1;g x;g y))
8. ∀x:B(n + 1). (||g x|| = r1)
9. ∀x:B(n + 1). ((||x|| = r1) ⇒ req-vec(n + 1;g x;x))
10. ∀h:{h:B(n + 1) ⟶ B(n + 1)| ∀p,q:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;p;q) ⇒ req-vec(n + 1;h p;h q))} . (g o h ∈ sphere-map(n)\000C)
11. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . ∀p:B(n + 1).  (t*p ∈ B(n + 1))
12. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . (λp.t*p ∈ B(n + 1) ⟶ B(n + 1))
13. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} 
      (λp.t*p ∈ {h:B(n + 1) ⟶ B(n + 1)| ∀p,q:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;p;q) ⇒ req-vec(n + 1;h p;h q))} )
14. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . (g o (λp.t*p) ∈ sphere-map(n))
15. ∀t,s:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} .  ((t = s) ⇒ sphere-map-eq(n;g o (λp.t*p);g o (λp.s*p)))
16. ∀t,s:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} .  ((t = s) ⇒ ((ind (g o (λp.t*p))) = (ind (g o (λp.s*p))) ∈ ℤ))
17. ∀t,s:{t:ℝ| (r0 ≤ t) ∧ (t ≤ r1)} .  ((t = s) ⇒ ((ind (g o (λp.t*p))) = (ind (g o (λp.s*p))) ∈ ℤ))
⊢ (ind (λx.(g r0*x))) = 0 ∈ ℤ
BY
{ ((Assert λi.r0 ∈ B(n + 1) BY
          ((MemTypeCD THEN Auto) THEN RWO "real-vec-norm-0" 0 THEN Auto))
   THEN (Assert g (λi.r0) ∈ S(n) BY
               (MemTypeCD THEN Auto))
   THEN (D 4 With ⌜g (λi.r0)⌝  THENA Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. ind : sphere-map(n) ⟶ ℤ
3. ∀f,g:sphere-map(n).  (sphere-map-eq(n;f;g) ⇒ ((ind f) = (ind g) ∈ ℤ))
4. (ind id-sphere-map()) = 1 ∈ ℤ
5. g : B(n + 1) ⟶ B(n + 1)
6. ∀x,y:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;x;y) ⇒ req-vec(n + 1;g x;g y))
7. ∀x:B(n + 1). (||g x|| = r1)
8. ∀x:B(n + 1). ((||x|| = r1) ⇒ req-vec(n + 1;g x;x))
9. ∀h:{h:B(n + 1) ⟶ B(n + 1)| ∀p,q:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;p;q) ⇒ req-vec(n + 1;h p;h q))} . (g o h ∈ sphere-map(n))
10. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . ∀p:B(n + 1).  (t*p ∈ B(n + 1))
11. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . (λp.t*p ∈ B(n + 1) ⟶ B(n + 1))
12. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} 
      (λp.t*p ∈ {h:B(n + 1) ⟶ B(n + 1)| ∀p,q:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;p;q) ⇒ req-vec(n + 1;h p;h q))} )
13. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . (g o (λp.t*p) ∈ sphere-map(n))
14. ∀t,s:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} .  ((t = s) ⇒ sphere-map-eq(n;g o (λp.t*p);g o (λp.s*p)))
15. ∀t,s:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} .  ((t = s) ⇒ ((ind (g o (λp.t*p))) = (ind (g o (λp.s*p))) ∈ ℤ))
16. ∀t,s:{t:ℝ| (r0 ≤ t) ∧ (t ≤ r1)} .  ((t = s) ⇒ ((ind (g o (λp.t*p))) = (ind (g o (λp.s*p))) ∈ ℤ))
17. λi.r0 ∈ B(n + 1)
18. g (λi.r0) ∈ S(n)
19. (ind const-sphere-map(g (λi.r0))) = 0 ∈ ℤ
⊢ (ind (λx.(g r0*x))) = 0 ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  ind  :  sphere-map(n)  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  \mforall{}f,g:sphere-map(n).    (sphere-map-eq(n;f;g)  {}\mRightarrow{}  ((ind  f)  =  (ind  g)))
4.  \mforall{}p:S(n).  ((ind  const-sphere-map(p))  =  0)
5.  (ind  id-sphere-map())  =  1
6.  g  :  B(n  +  1)  {}\mrightarrow{}  B(n  +  1)
7.  \mforall{}x,y:B(n  +  1).    (req-vec(n  +  1;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n  +  1;g  x;g  y))
8.  \mforall{}x:B(n  +  1).  (||g  x||  =  r1)
9.  \mforall{}x:B(n  +  1).  ((||x||  =  r1)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n  +  1;g  x;x))
10.  \mforall{}h:\{h:B(n  +  1)  {}\mrightarrow{}  B(n  +  1)|  \mforall{}p,q:B(n  +  1).    (req-vec(n  +  1;p;q)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n  +  1;h  p;h  q))\} 
            (g  o  h  \mmember{}  sphere-map(n))
11.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .  \mforall{}p:B(n  +  1).    (t*p  \mmember{}  B(n  +  1))
12.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .  (\mlambda{}p.t*p  \mmember{}  B(n  +  1)  {}\mrightarrow{}  B(n  +  1))
13.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\} 
            (\mlambda{}p.t*p  \mmember{}  \{h:B(n  +  1)  {}\mrightarrow{}  B(n  +  1)| 
                                  \mforall{}p,q:B(n  +  1).    (req-vec(n  +  1;p;q)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n  +  1;h  p;h  q))\}  )
14.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .  (g  o  (\mlambda{}p.t*p)  \mmember{}  sphere-map(n))
15.  \mforall{}t,s:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    ((t  =  s)  {}\mRightarrow{}  sphere-map-eq(n;g  o  (\mlambda{}p.t*p);g  o  (\mlambda{}p.s*p)))
16.  \mforall{}t,s:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    ((t  =  s)  {}\mRightarrow{}  ((ind  (g  o  (\mlambda{}p.t*p)))  =  (ind  (g  o  (\mlambda{}p.s*p)))))
17.  \mforall{}t,s:\{t:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  t)  \mwedge{}  (t  \mleq{}  r1)\}  .    ((t  =  s)  {}\mRightarrow{}  ((ind  (g  o  (\mlambda{}p.t*p)))  =  (ind  (g  o  (\mlambda{}p.s*p)))))
\mvdash{}  (ind  (\mlambda{}x.(g  r0*x)))  =  0


By

---

Latex:
((Assert  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  B(n  +  1)  BY
                ((MemTypeCD  THEN  Auto)  THEN  RWO  "real-vec-norm-0"  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  g  (\mlambda{}i.r0)  \mmember{}  S(n)  BY
                          (MemTypeCD  THEN  Auto))
  THEN  (D  4  With  \mkleeneopen{}g  (\mlambda{}i.r0)\mkleeneclose{}    THENA  Auto))

---

Home Index