---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma IdNotHomotopicConst-implies-BrowerFPT


1. n : ℕ
2. IdNotHomotopicConst(n)
3. g : B(n + 1) ⟶ B(n + 1)
4. ∀x,y:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;x;y) ⇒ req-vec(n + 1;g x;g y))
5. ∀x:B(n + 1). (||g x|| = r1)
6. ∀x:B(n + 1). ((||x|| = r1) ⇒ req-vec(n + 1;g x;x))
7. ∀h:{h:B(n + 1) ⟶ B(n + 1)| ∀p,q:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;p;q) ⇒ req-vec(n + 1;h p;h q))} . (g o h ∈ sphere-map(n))
8. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . ∀p:B(n + 1).  (t*p ∈ B(n + 1))
9. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . (λp.t*p ∈ B(n + 1) ⟶ B(n + 1))
10. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} 
      (λp.t*p ∈ {h:B(n + 1) ⟶ B(n + 1)| ∀p,q:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;p;q) ⇒ req-vec(n + 1;h p;h q))} )
11. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . (g o (λp.t*p) ∈ sphere-map(n))
12. ∀t,s:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} .  ((t = s) ⇒ sphere-map-eq(n;g o (λp.t*p);g o (λp.s*p)))
⊢ False
BY
{ D 2 }

1
1. n : ℕ
2. g : B(n + 1) ⟶ B(n + 1)
3. ∀x,y:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;x;y) ⇒ req-vec(n + 1;g x;g y))
4. ∀x:B(n + 1). (||g x|| = r1)
5. ∀x:B(n + 1). ((||x|| = r1) ⇒ req-vec(n + 1;g x;x))
6. ∀h:{h:B(n + 1) ⟶ B(n + 1)| ∀p,q:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;p;q) ⇒ req-vec(n + 1;h p;h q))} . (g o h ∈ sphere-map(n))
7. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . ∀p:B(n + 1).  (t*p ∈ B(n + 1))
8. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . (λp.t*p ∈ B(n + 1) ⟶ B(n + 1))
9. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} 
     (λp.t*p ∈ {h:B(n + 1) ⟶ B(n + 1)| ∀p,q:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;p;q) ⇒ req-vec(n + 1;h p;h q))} )
10. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . (g o (λp.t*p) ∈ sphere-map(n))
11. ∀t,s:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} .  ((t = s) ⇒ sphere-map-eq(n;g o (λp.t*p);g o (λp.s*p)))
⊢ ∃h:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]}  ⟶ S(n) ⟶ S(n)
   ((∀p:S(n). req-vec(n + 1;h r1 p;p))
   ∧ (∃q:S(n). ∀p:S(n). req-vec(n + 1;h r0 p;q))
   ∧ (∀t1,t2:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . ∀p1,p2:S(n).  ((t1 = t2) ⇒ req-vec(n + 1;p1;p2) ⇒ req-vec(n + 1;h t1 p1;h t2 p2))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  IdNotHomotopicConst(n)
3.  g  :  B(n  +  1)  {}\mrightarrow{}  B(n  +  1)
4.  \mforall{}x,y:B(n  +  1).    (req-vec(n  +  1;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n  +  1;g  x;g  y))
5.  \mforall{}x:B(n  +  1).  (||g  x||  =  r1)
6.  \mforall{}x:B(n  +  1).  ((||x||  =  r1)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n  +  1;g  x;x))
7.  \mforall{}h:\{h:B(n  +  1)  {}\mrightarrow{}  B(n  +  1)|  \mforall{}p,q:B(n  +  1).    (req-vec(n  +  1;p;q)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n  +  1;h  p;h  q))\} 
          (g  o  h  \mmember{}  sphere-map(n))
8.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .  \mforall{}p:B(n  +  1).    (t*p  \mmember{}  B(n  +  1))
9.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .  (\mlambda{}p.t*p  \mmember{}  B(n  +  1)  {}\mrightarrow{}  B(n  +  1))
10.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\} 
            (\mlambda{}p.t*p  \mmember{}  \{h:B(n  +  1)  {}\mrightarrow{}  B(n  +  1)| 
                                  \mforall{}p,q:B(n  +  1).    (req-vec(n  +  1;p;q)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n  +  1;h  p;h  q))\}  )
11.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .  (g  o  (\mlambda{}p.t*p)  \mmember{}  sphere-map(n))
12.  \mforall{}t,s:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    ((t  =  s)  {}\mRightarrow{}  sphere-map-eq(n;g  o  (\mlambda{}p.t*p);g  o  (\mlambda{}p.s*p)))
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
D  2

---

Home Index