---

Step * 2 1 2 1 1 of Lemma decidable__all-unit-ball-approx


1. k : ℕ
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. P : unit-ball-approx(n;k) ⟶ ℙ
5. ∀p:unit-ball-approx(n;k). Dec(P[p])
6. ∀p:unit-ball-approx(n - 1;k). ∀z:{-k..k + 1-}.
     (((Σ((p i) * (p i) | i < n - 1) + (z * z)) ≤ (k * k)) ⇒ (P extend-approx-ball(n - 1;p;z)))
7. p : ℕn ⟶ {-k..k + 1-}
8. Σ((p i) * (p i) | i < n) ≤ (k * k)
9. P extend-approx-ball(n - 1;p;p (n - 1))
⊢ p = extend-approx-ball(n - 1;p;p (n - 1)) ∈ (ℕn ⟶ {-k..k + 1-})
BY
{ (FunExt THEN RepUR ``extend-approx-ball`` 0 THEN Auto) }

1
1. k : ℕ
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. P : unit-ball-approx(n;k) ⟶ ℙ
5. ∀p:unit-ball-approx(n;k). Dec(P[p])
6. ∀p:unit-ball-approx(n - 1;k). ∀z:{-k..k + 1-}.
     (((Σ((p i) * (p i) | i < n - 1) + (z * z)) ≤ (k * k)) ⇒ (P extend-approx-ball(n - 1;p;z)))
7. p : ℕn ⟶ {-k..k + 1-}
8. Σ((p i) * (p i) | i < n) ≤ (k * k)
9. P extend-approx-ball(n - 1;p;p (n - 1))
10. x : ℕn
⊢ (p x) = if x <z n - 1 then p x else p (n - 1) fi  ∈ {-k..k + 1-}

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  0  <  n
4.  P  :  unit-ball-approx(n;k)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  \mforall{}p:unit-ball-approx(n;k).  Dec(P[p])
6.  \mforall{}p:unit-ball-approx(n  -  1;k).  \mforall{}z:\{-k..k  +  1\msupminus{}\}.
          (((\mSigma{}((p  i)  *  (p  i)  |  i  <  n  -  1)  +  (z  *  z))  \mleq{}  (k  *  k))  {}\mRightarrow{}  (P  extend-approx-ball(n  -  1;p;z)))
7.  p  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \{-k..k  +  1\msupminus{}\}
8.  \mSigma{}((p  i)  *  (p  i)  |  i  <  n)  \mleq{}  (k  *  k)
9.  P  extend-approx-ball(n  -  1;p;p  (n  -  1))
\mvdash{}  p  =  extend-approx-ball(n  -  1;p;p  (n  -  1))


By

---

Latex:
(FunExt  THEN  RepUR  ``extend-approx-ball``  0  THEN  Auto)

---

Home Index