---

Step * of Lemma remove-singularity-seq-mcauchy

∀[X:Type]. ∀[d:metric(X)]. ∀[k:ℕ]. ∀[f:{p:ℝ^k| r0 < ||p||}  ⟶ X]. ∀[z:X].
  ((∃c:{c:ℝ| r0 ≤ c} . ∀m:ℕ+. ∀p:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} .  ((||p|| ≤ (r(4)/r(m))) ⇒ (mdist(d;f p;z) ≤ (c/r(m)))))
  ⇒ (∀[p:ℝ^k]. mcauchy(d;n.remove-singularity-seq(k;p;f;z) n)))
BY
{ (Auto THEN (D 0 THENA Auto) THEN ExRepD THEN RenameVar `b' (-1)) }

1
1. [X] : Type
2. [d] : metric(X)
3. [k] : ℕ
4. [f] : {p:ℝ^k| r0 < ||p||}  ⟶ X
5. [z] : X
6. c : {c:ℝ| r0 ≤ c} 
7. ∀m:ℕ+. ∀p:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} .  ((||p|| ≤ (r(4)/r(m))) ⇒ (mdist(d;f p;z) ≤ (c/r(m))))
8. [p] : ℝ^k
9. b : ℕ+
⊢ ∃N:ℕ [(∀n,m:ℕ.
           ((N ≤ n)
           ⇒ (N ≤ m)
           ⇒ (mdist(d;remove-singularity-seq(k;p;f;z) n;remove-singularity-seq(k;p;f;z) m) ≤ (r1/r(b)))))]

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[X:Type].  \mforall{}[d:metric(X)].  \mforall{}[k:\mBbbN{}].  \mforall{}[f:\{p:\mBbbR{}\^{}k|  r0  <  ||p||\}    {}\mrightarrow{}  X].  \mforall{}[z:X].
    ((\mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  c\} 
          \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}k|  r0  <  ||p||\}  .    ((||p||  \mleq{}  (r(4)/r(m)))  {}\mRightarrow{}  (mdist(d;f  p;z)  \mleq{}  (c/r(m)))))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[p:\mBbbR{}\^{}k].  mcauchy(d;n.remove-singularity-seq(k;p;f;z)  n)))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  (D  0  THENA  Auto)  THEN  ExRepD  THEN  RenameVar  `b'  (-1))

---

Home Index