Step
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1
of Lemma
unit-ball-to-unit-cube
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
12. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p
13. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
14. x : ℝ^n
15. ||x|| ≤ r1
16. y : ℝ^n
17. ||y|| ≤ r1
18. ∀x,y:{p:ℝ^n| (||p|| ≤ r1) ∧ (r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0))} .
((|(||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) - (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0))|
* mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) ≤ (r(n + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
19. r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0)
20. h x ≡ (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x
21. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
22. (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) = c ∈ {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
23. r0 < mdist(max-metric(n);y;λi.r0)
24. h y ≡ (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0))*y
25. c' : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
26. (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0)) = c' ∈ {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
27. mdist(max-metric(n);c*x;c'*y) ≤ (mdist(max-metric(n);c*x;c'*x) + mdist(max-metric(n);c'*x;c'*y))
⊢ (mdist(max-metric(n);c*x;c'*x) + (|c'| * mdist(max-metric(n);x;y))) ≤ (r((2 * n) + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y))
BY
{ ((Assert |c'| ≤ r(n) BY
(RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto))
THEN (nRMul ⌜mdist(max-metric(n);x;y)⌝ (-1)⋅ THENA Auto)
THEN (Subst' (2 * n) + 1 ~ (n + 1) + n 0 THENA Auto)
THEN (RWO "radd-int<" 0 THENA Auto)
THEN (RWO "rmul-distrib.2" 0⋅ THENA Auto)
THEN BLemma `radd_functionality_wrt_rleq`
THEN Auto) }
1
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
12. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p
13. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
14. x : ℝ^n
15. ||x|| ≤ r1
16. y : ℝ^n
17. ||y|| ≤ r1
18. ∀x,y:{p:ℝ^n| (||p|| ≤ r1) ∧ (r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0))} .
((|(||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) - (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0))|
* mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) ≤ (r(n + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
19. r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0)
20. h x ≡ (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x
21. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
22. (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) = c ∈ {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
23. r0 < mdist(max-metric(n);y;λi.r0)
24. h y ≡ (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0))*y
25. c' : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
26. (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0)) = c' ∈ {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
27. mdist(max-metric(n);c*x;c'*y) ≤ (mdist(max-metric(n);c*x;c'*x) + mdist(max-metric(n);c'*x;c'*y))
28. (mdist(max-metric(n);x;y) * |c'|) ≤ (r(n) * mdist(max-metric(n);x;y))
⊢ mdist(max-metric(n);c*x;c'*x) ≤ (r(n + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y))
2
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
12. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p
13. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
14. x : ℝ^n
15. ||x|| ≤ r1
16. y : ℝ^n
17. ||y|| ≤ r1
18. ∀x,y:{p:ℝ^n| (||p|| ≤ r1) ∧ (r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0))} .
((|(||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) - (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0))|
* mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) ≤ (r(n + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
19. r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0)
20. h x ≡ (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x
21. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
22. (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) = c ∈ {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
23. r0 < mdist(max-metric(n);y;λi.r0)
24. h y ≡ (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0))*y
25. c' : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
26. (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0)) = c' ∈ {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
27. mdist(max-metric(n);c*x;c'*y) ≤ (mdist(max-metric(n);c*x;c'*x) + mdist(max-metric(n);c'*x;c'*y))
28. (mdist(max-metric(n);x;y) * |c'|) ≤ (r(n) * mdist(max-metric(n);x;y))
⊢ (|c'| * mdist(max-metric(n);x;y)) ≤ (r(n) * mdist(rn-metric(n);x;y))
Latex:
Latex:
1. n : \mBbbN{}\msupplus{}
2. \mlambda{}i.r0 \mmember{} \mBbbR{}\^{}n
3. max-metric(n) \mleq{} rn-metric(n)
4. rn-metric(n) \mleq{} r(n)*max-metric(n)
5. \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n. (r0 < ||p|| \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{} r0 < mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
6. \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p \mmember{} \mBbbR{}\^{}n)
7. h : \mBbbR{}\^{}n {}\mrightarrow{} \mBbbR{}\^{}n
8. \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n. (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0) {}\mRightarrow{} h p \mequiv{} \mlambda{}i.r0)
9. \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\} . h p \mequiv{} (||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p
10. \mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p:FUN(\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\} ;\mBbbR{}\^{}n) {}\000C\mRightarrow{} h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
11. \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n. (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0) {}\mRightarrow{} h p \mequiv{} \mlambda{}i.r0)
12. \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)\}
h p \mequiv{} (\mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p) p
13. h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
14. x : \mBbbR{}\^{}n
15. ||x|| \mleq{} r1
16. y : \mBbbR{}\^{}n
17. ||y|| \mleq{} r1
18. \mforall{}x,y:\{p:\mBbbR{}\^{}n| (||p|| \mleq{} r1) \mwedge{} (r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))\} .
((|(||x||/mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)) - (||y||/mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0))|
* mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)) \mleq{} (r(n + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
19. r0 < mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)
20. h x \mequiv{} (||x||/mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))*x
21. c : \{c:\mBbbR{}| (r0 \mleq{} c) \mwedge{} (c \mleq{} r(n))\}
22. (||x||/mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)) = c
23. r0 < mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0)
24. h y \mequiv{} (||y||/mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0))*y
25. c' : \{c:\mBbbR{}| (r0 \mleq{} c) \mwedge{} (c \mleq{} r(n))\}
26. (||y||/mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0)) = c'
27. mdist(max-metric(n);c*x;c'*y) \mleq{} (mdist(max-metric(n);c*x;c'*x) + mdist(max-metric(n);c'*x;c'*y))
\mvdash{} (mdist(max-metric(n);c*x;c'*x) + (|c'| * mdist(max-metric(n);x;y))) \mleq{} (r((2 * n) + 1)
* mdist(rn-metric(n);x;y))
By
Latex:
((Assert |c'| \mleq{} r(n) BY
(RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto))
THEN (nRMul \mkleeneopen{}mdist(max-metric(n);x;y)\mkleeneclose{} (-1)\mcdot{} THENA Auto)
THEN (Subst' (2 * n) + 1 \msim{} (n + 1) + n 0 THENA Auto)
THEN (RWO "radd-int<" 0 THENA Auto)
THEN (RWO "rmul-distrib.2" 0\mcdot{} THENA Auto)
THEN BLemma `radd\_functionality\_wrt\_rleq`
THEN Auto)
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