Step
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of Lemma
unit-ball-to-unit-cube
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
6. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
8. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
9. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
10. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
11. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p
12. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
13. x : ℝ^n
14. ||x|| ≤ r1
15. y : ℝ^n
16. ||y|| ≤ r1
17. ∀x,y:{p:ℝ^n| (||p|| ≤ r1) ∧ (r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0))} .
((|(||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) - (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0))|
* mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) ≤ (r(n + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
18. r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0)
19. h x ≡ (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x
20. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
21. (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) = c ∈ {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
22. ¬(r0 < mdist(max-metric(n);y;λi.r0))
23. mdist(max-metric(n);y;λi.r0) ≤ r0
24. req-vec(n;y;λi.r0)
25. h y ≡ λi.r0
26. mdist(max-metric(n);x;λi.r0) = mdist(max-metric(n);x;y)
27. (mdist(max-metric(n);x;y) * |c|) ≤ (mdist(rn-metric(n);x;y) * |c|)
⊢ (mdist(rn-metric(n);x;y) * |c|) ≤ (mdist(rn-metric(n);x;y) + (r(2) * r(n) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
BY
{ (((Assert |c| ≤ r(n) BY (RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto)) THEN (nRMul ⌜mdist(rn-metric(n);x;y)⌝ (-1)⋅ THENA Auto))
THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
THEN (nRAdd ⌜-(r(n) * mdist(rn-metric(n);x;y))⌝ 0⋅ THENA Auto)) }
1
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
6. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
8. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
9. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
10. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
11. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p
12. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
13. x : ℝ^n
14. ||x|| ≤ r1
15. y : ℝ^n
16. ||y|| ≤ r1
17. ∀x,y:{p:ℝ^n| (||p|| ≤ r1) ∧ (r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0))} .
((|(||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) - (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0))|
* mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) ≤ (r(n + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
18. r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0)
19. h x ≡ (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x
20. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
21. (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) = c ∈ {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))}
22. ¬(r0 < mdist(max-metric(n);y;λi.r0))
23. mdist(max-metric(n);y;λi.r0) ≤ r0
24. req-vec(n;y;λi.r0)
25. h y ≡ λi.r0
26. mdist(max-metric(n);x;λi.r0) = mdist(max-metric(n);x;y)
27. (mdist(max-metric(n);x;y) * |c|) ≤ (mdist(rn-metric(n);x;y) * |c|)
28. (mdist(rn-metric(n);x;y) * |c|) ≤ (r(n) * mdist(rn-metric(n);x;y))
⊢ r0 ≤ (mdist(rn-metric(n);x;y) + (r(n) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
Latex:
Latex:
1. n : \mBbbN{}\msupplus{}
2. \mlambda{}i.r0 \mmember{} \mBbbR{}\^{}n
3. rn-metric(n) \mleq{} r(n)*max-metric(n)
4. \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n. (r0 < ||p|| \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{} r0 < mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
5. \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p \mmember{} \mBbbR{}\^{}n)
6. h : \mBbbR{}\^{}n {}\mrightarrow{} \mBbbR{}\^{}n
7. \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n. (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0) {}\mRightarrow{} h p \mequiv{} \mlambda{}i.r0)
8. \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\} . h p \mequiv{} (||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p
9. \mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p:FUN(\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\} ;\mBbbR{}\^{}n) {}\mRightarrow{}\000C h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
10. \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n. (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0) {}\mRightarrow{} h p \mequiv{} \mlambda{}i.r0)
11. \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)\}
h p \mequiv{} (\mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p) p
12. h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
13. x : \mBbbR{}\^{}n
14. ||x|| \mleq{} r1
15. y : \mBbbR{}\^{}n
16. ||y|| \mleq{} r1
17. \mforall{}x,y:\{p:\mBbbR{}\^{}n| (||p|| \mleq{} r1) \mwedge{} (r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))\} .
((|(||x||/mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)) - (||y||/mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0))|
* mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)) \mleq{} (r(n + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
18. r0 < mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)
19. h x \mequiv{} (||x||/mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))*x
20. c : \{c:\mBbbR{}| (r0 \mleq{} c) \mwedge{} (c \mleq{} r(n))\}
21. (||x||/mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)) = c
22. \mneg{}(r0 < mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0))
23. mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0) \mleq{} r0
24. req-vec(n;y;\mlambda{}i.r0)
25. h y \mequiv{} \mlambda{}i.r0
26. mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0) = mdist(max-metric(n);x;y)
27. (mdist(max-metric(n);x;y) * |c|) \mleq{} (mdist(rn-metric(n);x;y) * |c|)
\mvdash{} (mdist(rn-metric(n);x;y) * |c|) \mleq{} (mdist(rn-metric(n);x;y)
+ (r(2) * r(n) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
By
Latex:
(((Assert |c| \mleq{} r(n) BY
(RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto))
THEN (nRMul \mkleeneopen{}mdist(rn-metric(n);x;y)\mkleeneclose{} (-1)\mcdot{} THENA Auto)
)
THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
THEN (nRAdd \mkleeneopen{}-(r(n) * mdist(rn-metric(n);x;y))\mkleeneclose{} 0\mcdot{} THENA Auto))
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