Step
*
2
2
2
2
5
2
3
1
of Lemma
unit-ball-to-unit-cube
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| 
⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) 
⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ℝ^n) 
⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) 
⇒ h p ≡ λi.r0)
12. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p
13. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
14. x : ℝ^n
15. ||x|| ≤ r1
16. y : ℝ^n
17. ||y|| ≤ r1
18. ∀x,y:{p:ℝ^n| (||p|| ≤ r1) ∧ (r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0))} .
      ((|(||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) - (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0))|
      * mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) ≤ (r(n + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
19. ¬(r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0))
20. mdist(max-metric(n);x;λi.r0) ≤ r0
21. req-vec(n;x;λi.r0)
22. h x ≡ λi.r0
23. r0 < mdist(max-metric(n);y;λi.r0)
24. h y ≡ (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0))*y
25. c' : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))} 
26. (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0)) = c' ∈ {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))} 
27. mdist(max-metric(n);y;λi.r0) = mdist(max-metric(n);y;x)
⊢ (|c'| * mdist(max-metric(n);y;x)) ≤ (r((2 * n) + 1) * mdist(rn-metric(n);y;x))
BY
{ ((D 3 With ⌜y⌝  THENA Auto)
   THEN (D -1 With ⌜x⌝  THENA Auto)
   THEN (nRMul ⌜|c'|⌝ (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN (nRNorm 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)) }
1
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| 
⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
6. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) 
⇒ h p ≡ λi.r0)
8. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
9. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ℝ^n) 
⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
10. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) 
⇒ h p ≡ λi.r0)
11. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p
12. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
13. x : ℝ^n
14. ||x|| ≤ r1
15. y : ℝ^n
16. ||y|| ≤ r1
17. ∀x,y:{p:ℝ^n| (||p|| ≤ r1) ∧ (r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0))} .
      ((|(||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) - (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0))|
      * mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) ≤ (r(n + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
18. ¬(r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0))
19. mdist(max-metric(n);x;λi.r0) ≤ r0
20. req-vec(n;x;λi.r0)
21. h x ≡ λi.r0
22. r0 < mdist(max-metric(n);y;λi.r0)
23. h y ≡ (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0))*y
24. c' : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))} 
25. (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0)) = c' ∈ {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c ≤ r(n))} 
26. mdist(max-metric(n);y;λi.r0) = mdist(max-metric(n);y;x)
27. (mdist(max-metric(n);y;x) * |c'|) ≤ (mdist(rn-metric(n);y;x) * |c'|)
⊢ (mdist(rn-metric(n);y;x) * |c'|) ≤ (mdist(rn-metric(n);y;x) + (r(2) * r(n) * mdist(rn-metric(n);y;x)))
Latex:
Latex:
1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
3.  max-metric(n)  \mleq{}  rn-metric(n)
4.  rn-metric(n)  \mleq{}  r(n)*max-metric(n)
5.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
6.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\}  .  ((||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n)
7.  h  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
8.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  h  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
9.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\}  .  h  p  \mequiv{}  (||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p
10.  \mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p:FUN(\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\}  ;\mBbbR{}\^{}n)  {}\000C\mRightarrow{}  h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
11.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  h  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
12.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)\} 
            h  p  \mequiv{}  (\mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p)  p
13.  h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
14.  x  :  \mBbbR{}\^{}n
15.  ||x||  \mleq{}  r1
16.  y  :  \mBbbR{}\^{}n
17.  ||y||  \mleq{}  r1
18.  \mforall{}x,y:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  (||p||  \mleq{}  r1)  \mwedge{}  (r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))\}  .
            ((|(||x||/mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))  -  (||y||/mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0))|
            *  mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))  \mleq{}  (r(n  +  1)  *  mdist(rn-metric(n);x;y)))
19.  \mneg{}(r0  <  mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))
20.  mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)  \mleq{}  r0
21.  req-vec(n;x;\mlambda{}i.r0)
22.  h  x  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0
23.  r0  <  mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0)
24.  h  y  \mequiv{}  (||y||/mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0))*y
25.  c'  :  \{c:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  \mleq{}  r(n))\} 
26.  (||y||/mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0))  =  c'
27.  mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0)  =  mdist(max-metric(n);y;x)
\mvdash{}  (|c'|  *  mdist(max-metric(n);y;x))  \mleq{}  (r((2  *  n)  +  1)  *  mdist(rn-metric(n);y;x))
By
Latex:
((D  3  With  \mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}|c'|\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (nRNorm  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto))
Home
Index