---

Step * 2 2 2 2 5 2 4 of Lemma unit-ball-to-unit-cube


1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
12. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p
13. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
14. x : ℝ^n
15. ||x|| ≤ r1
16. y : ℝ^n
17. ||y|| ≤ r1
18. ∀x,y:{p:ℝ^n| (||p|| ≤ r1) ∧ (r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0))} .
      ((|(||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) - (||y||/mdist(max-metric(n);y;λi.r0))|
      * mdist(max-metric(n);x;λi.r0)) ≤ (r(n + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
19. ¬(r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0))
20. mdist(max-metric(n);x;λi.r0) ≤ r0
21. req-vec(n;x;λi.r0)
22. h x ≡ λi.r0
23. ¬(r0 < mdist(max-metric(n);y;λi.r0))
24. mdist(max-metric(n);y;λi.r0) ≤ r0
25. req-vec(n;y;λi.r0)
26. h y ≡ λi.r0
⊢ mdist(max-metric(n);λi.r0;λi.r0) ≤ (r((2 * n) + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y))
BY
{ ((RWO "mdist-same" 0 THENA Auto)
   THEN (Assert r0 ≤ mdist(rn-metric(n);x;y) BY
               Auto)
   THEN nRMul ⌜r((2 * n) + 1)⌝ (-1)⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
3.  max-metric(n)  \mleq{}  rn-metric(n)
4.  rn-metric(n)  \mleq{}  r(n)*max-metric(n)
5.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
6.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\}  .  ((||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n)
7.  h  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
8.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  h  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
9.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\}  .  h  p  \mequiv{}  (||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p
10.  \mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p:FUN(\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\}  ;\mBbbR{}\^{}n)  {}\000C\mRightarrow{}  h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
11.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  h  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
12.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)\} 
            h  p  \mequiv{}  (\mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p)  p
13.  h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
14.  x  :  \mBbbR{}\^{}n
15.  ||x||  \mleq{}  r1
16.  y  :  \mBbbR{}\^{}n
17.  ||y||  \mleq{}  r1
18.  \mforall{}x,y:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  (||p||  \mleq{}  r1)  \mwedge{}  (r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))\}  .
            ((|(||x||/mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))  -  (||y||/mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0))|
            *  mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))  \mleq{}  (r(n  +  1)  *  mdist(rn-metric(n);x;y)))
19.  \mneg{}(r0  <  mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))
20.  mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)  \mleq{}  r0
21.  req-vec(n;x;\mlambda{}i.r0)
22.  h  x  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0
23.  \mneg{}(r0  <  mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0))
24.  mdist(max-metric(n);y;\mlambda{}i.r0)  \mleq{}  r0
25.  req-vec(n;y;\mlambda{}i.r0)
26.  h  y  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0
\mvdash{}  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;\mlambda{}i.r0)  \mleq{}  (r((2  *  n)  +  1)  *  mdist(rn-metric(n);x;y))


By

---

Latex:
((RWO  "mdist-same"  0  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  r0  \mleq{}  mdist(rn-metric(n);x;y)  BY
                          Auto)
  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r((2  *  n)  +  1)\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index