---

Step * 1 2 of Lemma unit-balls-homeomorphic+


1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . g p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p
9. g ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
10. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. ∀x,y:{p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} .  (mdist(max-metric(n);g x;g y) ≤ (r((2 * n) + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y)))
⊢ ∃B:ℕ+
   ∀x1,x2:{q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} .
     (mdist(max-metric(n);g x1;g x2) ≤ (r(B) * mdist(rn-metric(n);x1;x2)))
BY
{ (D 0 With ⌜(2 * n) + 1⌝  THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
3.  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\} 
4.  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
5.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
6.  g  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
7.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
8.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)\} 
          g  p  \mequiv{}  (\mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p)  p
9.  g  \mmember{}  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\}    {}\mrightarrow{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
10.  g:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
11.  \mforall{}x,y:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\}  .
            (mdist(max-metric(n);g  x;g  y)  \mleq{}  (r((2  *  n)  +  1)  *  mdist(rn-metric(n);x;y)))
\mvdash{}  \mexists{}B:\mBbbN{}\msupplus{}
      \mforall{}x1,x2:\{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}  .
          (mdist(max-metric(n);g  x1;g  x2)  \mleq{}  (r(B)  *  mdist(rn-metric(n);x1;x2)))


By

---

Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}(2  *  n)  +  1\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index