---

Step * 1 of Lemma Cauchy-Schwarz3-strict


1. n : ℕ
2. x : ℕn ⟶ ℝ
3. y : ℕn ⟶ ℝ
4. ∃i,j:ℕn. x[j] * y[i] ≠ x[i] * y[j]
⇐⇒ (Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}) < (Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}
    * Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1})
5. ∀x:ℕn ⟶ ℝ. (r0 ≤ Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1})
⊢ ∃i,j:ℕn. x[j] * y[i] ≠ x[i] * y[j]
⇐⇒ |Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}| < (rsqrt(Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}) * rsqrt(Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}))
BY
{ (RWO  "-2" 0 THENA Auto) }

1
1. n : ℕ
2. x : ℕn ⟶ ℝ
3. y : ℕn ⟶ ℝ
4. ∃i,j:ℕn. x[j] * y[i] ≠ x[i] * y[j]
⇐⇒ (Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}) < (Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}
    * Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1})
5. ∀x:ℕn ⟶ ℝ. (r0 ≤ Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1})
⊢ (Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}) < (Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1})
⇐⇒ |Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}| < (rsqrt(Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}) * rsqrt(Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  x  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  y  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
4.  \mexists{}i,j:\mBbbN{}n.  x[j]  *  y[i]  \mneq{}  x[i]  *  y[j]
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (\mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}  *  \mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})  <  (\mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}
        *  \mSigma{}\{y[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})
5.  \mforall{}x:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.  (r0  \mleq{}  \mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})
\mvdash{}  \mexists{}i,j:\mBbbN{}n.  x[j]  *  y[i]  \mneq{}  x[i]  *  y[j]
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  |\mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}|  <  (rsqrt(\mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})
        *  rsqrt(\mSigma{}\{y[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}))


By

---

Latex:
(RWO    "-2"  0  THENA  Auto)

---

Home Index