---

Step * 1 of Lemma Cauchy-Schwarz3


1. [n] : ℕ
2. [x] : ℕn ⟶ ℝ
3. [y] : ℕn ⟶ ℝ
4. (Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}) ≤ (Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1})
5. ∀x:ℕn ⟶ ℝ. (r0 ≤ Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1})
⊢ |Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}| ≤ (rsqrt(Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}) * rsqrt(Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}))
BY
{ ((Unhide THENA Auto)
   THEN (InstHyp [⌜x⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN (With ⌜y⌝ (D (-2))⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 3 (MoveToConcl (-1))
   THEN GenConclAtAddr [1;1;1]
   THEN GenConclAtAddr [1;2;1]
   THEN GenConclAtAddr [1;2;2]
   THEN All Thin
   THEN Auto) }

1
1. v : ℝ
2. v1 : ℝ
3. v2 : ℝ
4. (v * v) ≤ (v1 * v2)
5. r0 ≤ v1
6. r0 ≤ v2
⊢ |v| ≤ (rsqrt(v1) * rsqrt(v2))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [n]  :  \mBbbN{}
2.  [x]  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  [y]  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
4.  (\mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}  *  \mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})  \mleq{}  (\mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}
*  \mSigma{}\{y[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})
5.  \mforall{}x:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.  (r0  \mleq{}  \mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})
\mvdash{}  |\mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}|  \mleq{}  (rsqrt(\mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})
*  rsqrt(\mSigma{}\{y[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}))


By

---

Latex:
((Unhide  THENA  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (With  \mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}  (D  (-2))\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  3  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  GenConclAtAddr  [1;1;1]
  THEN  GenConclAtAddr  [1;2;1]
  THEN  GenConclAtAddr  [1;2;2]
  THEN  All  Thin
  THEN  Auto)

---

Home Index