---

Step * 1 1 1 1 2 1 1 of Lemma Taylor-series-bounded-converges-everywhere


1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
5. m : {m:ℕ+| icompact([r(-m), r(m)])} 
6. j : ℕ+
7. N : ℕ
8. c : ℝ
9. r0 < c
10. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
11. M : ℕ+
12. ∀k:{M...}. (|(r^k/r((k)!))| ≤ (r1/|c| * r(j)))
13. k : {M...}
14. |(r^k/r((k)!))| ≤ (r1/|c| * r(j))
15. r0 < c
16. |c| = c
17. r0 < |c|
18. r0 < r(j)
⊢ |r^k * (c/r((k)!))| ≤ (r1/r(j))
BY
{ ((Assert |c| * r(j) ≠ r0 BY (OrRight THEN EAuto 1)) THEN nRMul ⌜|c|⌝ (-6)⋅ THEN Auto) }

1
1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
5. m : {m:ℕ+| icompact([r(-m), r(m)])} 
6. j : ℕ+
7. N : ℕ
8. c : ℝ
9. r0 < c
10. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
11. M : ℕ+
12. ∀k:{M...}. (|(r^k/r((k)!))| ≤ (r1/|c| * r(j)))
13. k : {M...}
14. (|(r1/r((k)!)) * r^k| * |c|) ≤ (r1/r(j))
15. r0 < c
16. |c| = c
17. r0 < |c|
18. r0 < r(j)
19. |c| * r(j) ≠ r0
⊢ |r^k * (c/r((k)!))| ≤ (r1/r(j))

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
3.  infinite-deriv-seq((-\minfty{},  \minfty{});i,x.F[i;x])
4.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
5.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact([r(-m),  r(m)])\} 
6.  j  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  N  :  \mBbbN{}
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  <  c
10.  \mforall{}k:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\}  .    (|F[k;x]|  \mleq{}  c)
11.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  \mforall{}k:\{M...\}.  (|(r\^{}k/r((k)!))|  \mleq{}  (r1/|c|  *  r(j)))
13.  k  :  \{M...\}
14.  |(r\^{}k/r((k)!))|  \mleq{}  (r1/|c|  *  r(j))
15.  r0  <  c
16.  |c|  =  c
17.  r0  <  |c|
18.  r0  <  r(j)
\mvdash{}  |r\^{}k  *  (c/r((k)!))|  \mleq{}  (r1/r(j))


By

---

Latex:
((Assert  |c|  *  r(j)  \mneq{}  r0  BY  (OrRight  THEN  EAuto  1))  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}|c|\mkleeneclose{}  (-6)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index