---

Step * 1 1 2 1 1 of Lemma alternating-series-tail-bound


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. M : ℕ
3. ∀n:ℕ. ((M ≤ n) ⇒ ((r0 ≤ x[n]) ∧ (x[n + 1] ≤ x[n])))
4. lim n→∞.x[n] = r0
5. a : {M...}
6. b : ℕ
7. a ≤ b
8. d : ℕ
9. ∀d:ℕd. ∀n,m:ℕ.
     ((a ≤ n)
     ⇒ ((m - n) ≤ d)
     ⇒ ((((-1)^n = 1 ∈ ℤ) ⇒ ((r0 ≤ Σ{r(-1)^i * x[i] | n≤i≤m}) ∧ (Σ{r(-1)^i * x[i] | n≤i≤m} ≤ x[n])))
        ∧ (((-1)^n = (-1) ∈ ℤ) ⇒ ((-(x[n]) ≤ Σ{r(-1)^i * x[i] | n≤i≤m}) ∧ (Σ{r(-1)^i * x[i] | n≤i≤m} ≤ r0)))))
10. n : ℕ
11. m : ℕ
12. a ≤ n
13. (m - n) ≤ d
14. ¬m < n
15. m = n ∈ ℤ
⊢ (((-1)^n = 1 ∈ ℤ) ⇒ ((r0 ≤ (r(-1)^n * x[n])) ∧ ((r(-1)^n * x[n]) ≤ x[n])))
∧ (((-1)^n = (-1) ∈ ℤ) ⇒ ((-(x[n]) ≤ (r(-1)^n * x[n])) ∧ ((r(-1)^n * x[n]) ≤ r0)))
BY
{ (RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (RWO "rnexp-int" 0 THENA Auto)
   THEN HypSubst' (-1) 0
   THEN nRNorm 0
   THEN Auto
   THEN nRAdd ⌜x[n]⌝ 0⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  M  :  \mBbbN{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((M  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  ((r0  \mleq{}  x[n])  \mwedge{}  (x[n  +  1]  \mleq{}  x[n])))
4.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x[n]  =  r0
5.  a  :  \{M...\}
6.  b  :  \mBbbN{}
7.  a  \mleq{}  b
8.  d  :  \mBbbN{}
9.  \mforall{}d:\mBbbN{}d.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}.
          ((a  \mleq{}  n)
          {}\mRightarrow{}  ((m  -  n)  \mleq{}  d)
          {}\mRightarrow{}  ((((-1)\^{}n  =  1)  {}\mRightarrow{}  ((r0  \mleq{}  \mSigma{}\{r(-1)\^{}i  *  x[i]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\})  \mwedge{}  (\mSigma{}\{r(-1)\^{}i  *  x[i]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  \mleq{}  x[n])))
                \mwedge{}  (((-1)\^{}n  =  (-1))
                    {}\mRightarrow{}  ((-(x[n])  \mleq{}  \mSigma{}\{r(-1)\^{}i  *  x[i]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\})  \mwedge{}  (\mSigma{}\{r(-1)\^{}i  *  x[i]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  \mleq{}  r0)))))
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  m  :  \mBbbN{}
12.  a  \mleq{}  n
13.  (m  -  n)  \mleq{}  d
14.  \mneg{}m  <  n
15.  m  =  n
\mvdash{}  (((-1)\^{}n  =  1)  {}\mRightarrow{}  ((r0  \mleq{}  (r(-1)\^{}n  *  x[n]))  \mwedge{}  ((r(-1)\^{}n  *  x[n])  \mleq{}  x[n])))
\mwedge{}  (((-1)\^{}n  =  (-1))  {}\mRightarrow{}  ((-(x[n])  \mleq{}  (r(-1)\^{}n  *  x[n]))  \mwedge{}  ((r(-1)\^{}n  *  x[n])  \mleq{}  r0)))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (RWO  "rnexp-int"  0  THENA  Auto)
  THEN  HypSubst'  (-1)  0
  THEN  nRNorm  0
  THEN  Auto
  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}x[n]\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index