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Step * of Lemma cantor-interval-length

∀[a,b:ℝ]. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ 𝔹].  (((snd(cantor-interval(a;b;f;n))) - fst(cantor-interval(a;b;f;n))) = (2^n * b - a)/3^n)
BY
{ (InductionOnNat
   THEN Unfold `cantor-interval` 0
   THEN (UnrollPrimrec 0 THENA Auto)
   THEN ((Fold `cantor-interval` 0 THEN ParallelLast THEN (Unhide THENA Auto))
   ORELSE (Auto THEN RWW "int-rdiv-one int-rmul-one" 0 THEN Auto)
   )
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConclTerm ⌜cantor-interval(a;b;f;n - 1)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (D -2 THEN Reduce 0)
   THEN (BoolCase ⌜f (n - 1)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConclTerm ⌜b - a⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Subst' 2^n ~ 2 * 2^(n - 1) 0 THENA Auto)
   THEN (Subst' 3^n ~ 3 * 3^(n - 1) 0 THENA Auto)
   THEN (Assert 0 < 3^(n - 1) BY
               Auto)
   THEN (GenConcl ⌜2^(n - 1) = M ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜3^(n - 1) = N ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto)
   THEN All Thin
   THEN (RWO "int-rdiv-req" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "int-rmul-req" 0 THENA Auto)
   THEN (Assert r0 < r(N) BY
               Auto)
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN (nRMul ⌜r(N)⌝ (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN nRNorm (-1)
   THEN (RWO "rmul-int<" 0 THENA (Auto THEN EAuto 2))
   THEN (nRMul ⌜r(N)⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN (nRMul ⌜r(3)⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN RWO  "-1<" 0
   THEN Auto) }

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Latex:

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Latex:
\mforall{}[a,b:\mBbbR{}].  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].
    (((snd(cantor-interval(a;b;f;n)))  -  fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  =  (2\^{}n  *  b  -  a)/3\^{}n)


By

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Latex:
(InductionOnNat
  THEN  Unfold  `cantor-interval`  0
  THEN  (UnrollPrimrec  0  THENA  Auto)
  THEN  ((Fold  `cantor-interval`  0  THEN  ParallelLast  THEN  (Unhide  THENA  Auto))
  ORELSE  (Auto  THEN  RWW  "int-rdiv-one  int-rmul-one"  0  THEN  Auto)
  )
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}cantor-interval(a;b;f;n  -  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  -2  THEN  Reduce  0)
  THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}f  (n  -  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}b  -  a\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  2\^{}n  \msim{}  2  *  2\^{}(n  -  1)  0  THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  3\^{}n  \msim{}  3  *  3\^{}(n  -  1)  0  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  0  <  3\^{}(n  -  1)  BY
                          Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}2\^{}(n  -  1)  =  M\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}3\^{}(n  -  1)  =  N\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  All  Thin
  THEN  (RWO  "int-rdiv-req"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "int-rmul-req"  0  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  r0  <  r(N)  BY
                          Auto)
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}r(N)\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  nRNorm  (-1)
  THEN  (RWO  "rmul-int<"  0  THENA  (Auto  THEN  EAuto  2))
  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}r(N)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}r(3)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RWO    "-1<"  0
  THEN  Auto)

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