---

Step * 1 1 1 of Lemma case-real_wf


1. P : ℙ
2. a : ℕ+ ⟶ ℤ
3. regular-seq(a)
4. b : ℕ+ ⟶ ℤ
5. regular-seq(b)
6. f : {n:ℕ+| 4 < |(a n) - b n|}  ⟶ ((↓P) ∨ (↓¬P))
7. λn.if 4 <z |(a n) - b n| ∧b (f n) then a n else b n fi  ∈ ℕ+ ⟶ ℤ
8. n : ℕ+
9. m : ℕ+
10. ¬4 < |(a m) - b m|
11. 4 < |(a n) - b n|
12. x : ↓P
13. (f n) = (inl x) ∈ ((↓P) ∨ (↓¬P))
⊢ (|(m * (a n)) - n * (a m)| + |(n * (a m)) - n * (b m)|) ≤ (6 * (n + m))
BY
{ ((Assert |(n * (a m)) - n * (b m)| ≤ (4 * n) BY
          ((Assert |(a m) - b m| ≤ 4 BY
                  Auto)
           THEN Mul ⌜|n|⌝ (-1)⋅
           THEN (RWO  "absval_mul<" (-1) THENA Auto)
           THEN NthHypSq  (-1)
           THEN Auto))
   THEN UnfoldTopAb 3
   THEN RWO "3 -1" 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  \mBbbP{}
2.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  regular-seq(a)
4.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
5.  regular-seq(b)
6.  f  :  \{n:\mBbbN{}\msupplus{}|  4  <  |(a  n)  -  b  n|\}    {}\mrightarrow{}  ((\mdownarrow{}P)  \mvee{}  (\mdownarrow{}\mneg{}P))
7.  \mlambda{}n.if  4  <z  |(a  n)  -  b  n|  \mwedge{}\msubb{}  (f  n)  then  a  n  else  b  n  fi    \mmember{}  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
8.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  \mneg{}4  <  |(a  m)  -  b  m|
11.  4  <  |(a  n)  -  b  n|
12.  x  :  \mdownarrow{}P
13.  (f  n)  =  (inl  x)
\mvdash{}  (|(m  *  (a  n))  -  n  *  (a  m)|  +  |(n  *  (a  m))  -  n  *  (b  m)|)  \mleq{}  (6  *  (n  +  m))


By

---

Latex:
((Assert  |(n  *  (a  m))  -  n  *  (b  m)|  \mleq{}  (4  *  n)  BY
                ((Assert  |(a  m)  -  b  m|  \mleq{}  4  BY
                                Auto)
                  THEN  Mul  \mkleeneopen{}|n|\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}
                  THEN  (RWO    "absval\_mul<"  (-1)  THENA  Auto)
                  THEN  NthHypSq    (-1)
                  THEN  Auto))
  THEN  UnfoldTopAb  3
  THEN  RWO  "3  -1"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index