---

Step * 1 1 2 1 1 of Lemma closures-meet'

.....assertion..... 
1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
12. ∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ∃abp':a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
       let a,b,p = abp in 
       let a',b',p' = abp' in 
       (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
13. f : abp:(a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))) ⟶ (a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b)))
14. ∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      let a,b,p = abp in 
      let a',b',p' = f abp in 
      (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
⊢ (a0 ∈ P) ∧ (b0 ∈ Q) ∧ (a0 < b0)
BY
{ Auto }

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  P  :  Set(\mBbbR{})
2.  Q  :  Set(\mBbbR{})
3.  a0  :  \mBbbR{}
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  a0  \mmember{}  P
6.  b0  \mmember{}  Q
7.  a0  <  b0
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  \mleq{}  c
10.  c  <  r1
11.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
            (((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a',b':\mBbbR{}
                      ((a'  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b'  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c)))))
12.  \mforall{}abp:a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
            \mexists{}abp':a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
              let  a,b,p  =  abp  in 
              let  a',b',p'  =  abp'  in 
              (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c))
13.  f  :  abp:(a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b)))  {}\mrightarrow{}  (a:\mBbbR{}
                                                                                                                      \mtimes{}  b:\mBbbR{}
                                                                                                                      \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b)))
14.  \mforall{}abp:a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
            let  a,b,p  =  abp  in 
            let  a',b',p'  =  f  abp  in 
            (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c))
\mvdash{}  (a0  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b0  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a0  <  b0)


By

---

Latex:
Auto

---

Home Index