---

Step * 1 1 2 1 2 1 1 2 of Lemma closures-meet'


1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
12. ∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ∃abp':a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
       let a,b,p = abp in 
       let a',b',p' = abp' in 
       (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
13. f : abp:(a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))) ⟶ (a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b)))
14. ∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      let a,b,p = abp in 
      let a',b',p' = f abp in 
      (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
15. p0 : (a0 ∈ P) ∧ (b0 ∈ Q) ∧ (a0 < b0)
⊢ ∀n:ℕ
    let a,b = λn.let a,b,p = primrec(n;<a0, b0, p0>;λx,y. (f y)) in 
                 <a, b>[n] 
    in let a',b' = λn.let a,b,p = primrec(n;<a0, b0, p0>;λx,y. (f y)) in 
                      <a, b>[n + 1] 
       in (a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
BY
{ (RepUR ``so_apply`` 0
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN ((RW (AddrC [2] (SweepUpC (LemmaC `primrec-unroll`))) 0) THENA Auto)
   THEN AutoBoolCase ⌜(n + 1 =z 0)⌝⋅
   THEN (Subst' (n + 1) - 1 ~ n 0 THENL [Auto; Id])
   THEN ((GenConclAtAddrType ⌜a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))⌝ [1;1]⋅ THENA Auto)
         THEN ((InstHyp [⌜v⌝] (-6))⋅ THENA Auto)
         THEN (MoveToConcl (-1))
         THEN RepeatFor 2 (D -2)
         THEN Reduce 0
         THEN ((GenConclAtAddr [1; 1]) THENA Auto)
         THEN RepeatFor 2 (D -2)
         THEN Reduce 0
         THEN Auto)⋅) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  Set(\mBbbR{})
2.  Q  :  Set(\mBbbR{})
3.  a0  :  \mBbbR{}
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  a0  \mmember{}  P
6.  b0  \mmember{}  Q
7.  a0  <  b0
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  \mleq{}  c
10.  c  <  r1
11.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
            (((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a',b':\mBbbR{}
                      ((a'  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b'  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c)))))
12.  \mforall{}abp:a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
            \mexists{}abp':a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
              let  a,b,p  =  abp  in 
              let  a',b',p'  =  abp'  in 
              (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c))
13.  f  :  abp:(a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b)))  {}\mrightarrow{}  (a:\mBbbR{}
                                                                                                                      \mtimes{}  b:\mBbbR{}
                                                                                                                      \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b)))
14.  \mforall{}abp:a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
            let  a,b,p  =  abp  in 
            let  a',b',p'  =  f  abp  in 
            (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c))
15.  p0  :  (a0  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b0  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a0  <  b0)
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}
        let  a,b  =  \mlambda{}n.let  a,b,p  =  primrec(n;<a0,  b0,  p0>\mlambda{}x,y.  (f  y))  in 
                                  <a,  b>[n] 
        in  let  a',b'  =  \mlambda{}n.let  a,b,p  =  primrec(n;<a0,  b0,  p0>\mlambda{}x,y.  (f  y))  in 
                                            <a,  b>[n  +  1] 
              in  (a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c))


By

---

Latex:
(RepUR  ``so\_apply``  0
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  ((RW  (AddrC  [2]  (SweepUpC  (LemmaC  `primrec-unroll`)))  0)  THENA  Auto)
  THEN  AutoBoolCase  \mkleeneopen{}(n  +  1  =\msubz{}  0)\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  (Subst'  (n  +  1)  -  1  \msim{}  n  0  THENL  [Auto;  Id])
  THEN  ((GenConclAtAddrType  \mkleeneopen{}a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))\mkleeneclose{}  [1;1]\mcdot{}  THENA  Auto)
              THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}]  (-6))\mcdot{}  THENA  Auto)
              THEN  (MoveToConcl  (-1))
              THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
              THEN  Reduce  0
              THEN  ((GenConclAtAddr  [1;  1])  THENA  Auto)
              THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
              THEN  Reduce  0
              THEN  Auto)\mcdot{})

---

Home Index