---

Step * 1 1 2 1 2 1 2 of Lemma closures-meet'


1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
12. ∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ∃abp':a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
       let a,b,p = abp in 
       let a',b',p' = abp' in 
       (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
13. f : abp:(a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))) ⟶ (a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b)))
14. ∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      let a,b,p = abp in 
      let a',b',p' = f abp in 
      (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
15. p0 : (a0 ∈ P) ∧ (b0 ∈ Q) ∧ (a0 < b0)
16. ∃ab:ℕ ⟶ (ℝ × ℝ)
     ∀n:ℕ
       let a,b = ab[n] 
       in let a',b' = ab[n + 1] 
          in (a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
⊢ ∃a,b:ℕ ⟶ ℝ
   ∀n:ℕ
     ((a[n] ∈ P)
     ∧ (b[n] ∈ Q)
     ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
     ∧ (a[n + 1] < b[n + 1])
     ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
     ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))
BY
{ ((D (-1))
   THEN (((InstConcl [⌜λn.(fst(ab[n]))⌝; ⌜λn.(snd(ab[n]))⌝])⋅ THEN RepUR ``so_apply`` 0)
         THEN Try (TACTIC:(ParallelLast
                           THEN RepUR ``so_apply`` -1
                           THEN (MoveToConcl (-1))
                           THEN RepeatFor 2 ((((GenConclAtAddr [1; 1]) THENA Auto) THEN D -2 THEN Reduce 0))
                           THEN Auto))
         )
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  Set(\mBbbR{})
2.  Q  :  Set(\mBbbR{})
3.  a0  :  \mBbbR{}
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  a0  \mmember{}  P
6.  b0  \mmember{}  Q
7.  a0  <  b0
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  \mleq{}  c
10.  c  <  r1
11.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
            (((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a',b':\mBbbR{}
                      ((a'  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b'  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c)))))
12.  \mforall{}abp:a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
            \mexists{}abp':a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
              let  a,b,p  =  abp  in 
              let  a',b',p'  =  abp'  in 
              (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c))
13.  f  :  abp:(a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b)))  {}\mrightarrow{}  (a:\mBbbR{}
                                                                                                                      \mtimes{}  b:\mBbbR{}
                                                                                                                      \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b)))
14.  \mforall{}abp:a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
            let  a,b,p  =  abp  in 
            let  a',b',p'  =  f  abp  in 
            (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c))
15.  p0  :  (a0  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b0  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a0  <  b0)
16.  \mexists{}ab:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbR{}  \mtimes{}  \mBbbR{})
          \mforall{}n:\mBbbN{}
              let  a,b  =  ab[n] 
              in  let  a',b'  =  ab[n  +  1] 
                    in  (a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c))
\mvdash{}  \mexists{}a,b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
      \mforall{}n:\mBbbN{}
          ((a[n]  \mmember{}  P)
          \mwedge{}  (b[n]  \mmember{}  Q)
          \mwedge{}  (a[n]  \mleq{}  a[n  +  1])
          \mwedge{}  (a[n  +  1]  <  b[n  +  1])
          \mwedge{}  (b[n  +  1]  \mleq{}  b[n])
          \mwedge{}  ((b[n  +  1]  -  a[n  +  1])  \mleq{}  ((b[n]  -  a[n])  *  c)))


By

---

Latex:
((D  (-1))
  THEN  (((InstConcl  [\mkleeneopen{}\mlambda{}n.(fst(ab[n]))\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}\mlambda{}n.(snd(ab[n]))\mkleeneclose{}])\mcdot{}  THEN  RepUR  ``so\_apply``  0)
              THEN  Try  (TACTIC:(ParallelLast
                                                  THEN  RepUR  ``so\_apply``  -1
                                                  THEN  (MoveToConcl  (-1))
                                                  THEN  RepeatFor  2  ((((GenConclAtAddr  [1;  1])  THENA  Auto)
                                                                                        THEN  D  -2
                                                                                        THEN  Reduce  0))
                                                  THEN  Auto))
              )
  THEN  Auto)

---

Home Index