---

Step * 2 1 of Lemma common-limit-squeeze


1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. b : ℕ ⟶ ℝ
3. c : ℕ ⟶ ℝ
4. ∀n:ℕ. ((a[n] ≤ a[n + 1]) ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1]) ∧ (b[n + 1] ≤ b[n]))
5. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|c[n] - r0| ≤ (r1/r(k)))))])
6. ∀n:ℕ. r0≤b[n] - a[n]≤c[n]
7. y : ℝ
8. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|a[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))])
9. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|a[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))])
10. k : ℕ+
⊢ ∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|b[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))]
BY
{ (Thin (-2)
   THEN ((InstHyp [⌜2 * k⌝] (-5))⋅ THENA Auto')
   THEN ((InstHyp [⌜2 * k⌝] (-3))⋅ THENA Auto')
   THEN (All (Fold `sq-all-large`))
   THEN ((FLemma `sq-all-large-and` [-1; -2]) THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (ParallelLast)
   THEN Auto) }

1
1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. b : ℕ ⟶ ℝ
3. c : ℕ ⟶ ℝ
4. ∀n:ℕ. ((a[n] ≤ a[n + 1]) ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1]) ∧ (b[n + 1] ≤ b[n]))
5. ∀k:ℕ+. ∀large(n).{|c[n] - r0| ≤ (r1/r(k))}
6. ∀n:ℕ. r0≤b[n] - a[n]≤c[n]
7. y : ℝ
8. ∀k:ℕ+. ∀large(n).{|a[n] - y| ≤ (r1/r(k))}
9. k : ℕ+
10. ∀large(n).{|c[n] - r0| ≤ (r1/r(2 * k))}
11. ∀large(n).{|a[n] - y| ≤ (r1/r(2 * k))}
12. N : ℕ
13. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ ((|a[n] - y| ≤ (r1/r(2 * k))) ∧ (|c[n] - r0| ≤ (r1/r(2 * k)))))
14. n : ℕ
15. N ≤ n
⊢ |b[n] - y| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  c  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((a[n]  \mleq{}  a[n  +  1])  \mwedge{}  (a[n  +  1]  \mleq{}  b[n  +  1])  \mwedge{}  (b[n  +  1]  \mleq{}  b[n]))
5.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|c[n]  -  r0|  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  r0\mleq{}b[n]  -  a[n]\mleq{}c[n]
7.  y  :  \mBbbR{}
8.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|a[n]  -  y|  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
9.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|a[n]  -  y|  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
10.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|b[n]  -  y|  \mleq{}  (r1/r(k)))))]


By

---

Latex:
(Thin  (-2)
  THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}2  *  k\mkleeneclose{}]  (-5))\mcdot{}  THENA  Auto')
  THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}2  *  k\mkleeneclose{}]  (-3))\mcdot{}  THENA  Auto')
  THEN  (All  (Fold  `sq-all-large`))
  THEN  ((FLemma  `sq-all-large-and`  [-1;  -2])  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (ParallelLast)
  THEN  Auto)

---

Home Index