---

Step * 2 of Lemma compact-dist-positive


1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. A : Type
4. A ⊆r X
5. c : mcompact(A;d)
6. x : X
7. dist-fun(d;x) ∈ FUN(A ⟶ ℝ)
8. (∀x@0:A. (dist(x;A) ≤ (dist-fun(d;x) x@0))) ∧ (∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:A. ((dist-fun(d;x) x@0) < (dist(x;A) + e)))))
9. ∃n:ℕ+. ∀a:A. ((r1/r(n)) ≤ mdist(d;x;a))
⊢ r0 < dist(x;A)
BY
{ (ExRepD
   THEN (Assert ⌜(r1/r(2 * n)) ≤ dist(x;A)⌝⋅ THENM (RWO "-1<" 0 THEN Auto))
   THEN ((BLemma `not-rless` THENM D 0) THENA Auto)
   THEN (InstHyp [⌜(r1/r(2 * n))⌝] (-4)⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "-2" (-1) THENA Auto)
   THEN (Assert ((r1/r(2 * n)) + (r1/r(2 * n))) = (r1/r(n)) BY
               (RWO "radd-int-fractions" 0 THEN Auto))) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. A : Type
4. A ⊆r X
5. c : mcompact(A;d)
6. x : X
7. dist-fun(d;x) ∈ FUN(A ⟶ ℝ)
8. ∀x@0:A. (dist(x;A) ≤ (dist-fun(d;x) x@0))
9. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:A. ((dist-fun(d;x) x@0) < (dist(x;A) + e))))
10. n : ℕ+
11. ∀a:A. ((r1/r(n)) ≤ mdist(d;x;a))
12. dist(x;A) < (r1/r(2 * n))
13. ∃x@0:A. ((dist-fun(d;x) x@0) < ((r1/r(2 * n)) + (r1/r(2 * n))))
14. ((r1/r(2 * n)) + (r1/r(2 * n))) = (r1/r(n))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  A  :  Type
4.  A  \msubseteq{}r  X
5.  c  :  mcompact(A;d)
6.  x  :  X
7.  dist-fun(d;x)  \mmember{}  FUN(A  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{})
8.  (\mforall{}x@0:A.  (dist(x;A)  \mleq{}  (dist-fun(d;x)  x@0)))
\mwedge{}  (\mforall{}e:\mBbbR{}.  ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x@0:A.  ((dist-fun(d;x)  x@0)  <  (dist(x;A)  +  e)))))
9.  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}a:A.  ((r1/r(n))  \mleq{}  mdist(d;x;a))
\mvdash{}  r0  <  dist(x;A)


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}(r1/r(2  *  n))  \mleq{}  dist(x;A)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENM  (RWO  "-1<"  0  THEN  Auto))
  THEN  ((BLemma  `not-rless`  THENM  D  0)  THENA  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}(r1/r(2  *  n))\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-2"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  ((r1/r(2  *  n))  +  (r1/r(2  *  n)))  =  (r1/r(n))  BY
                          (RWO  "radd-int-fractions"  0  THEN  Auto)))

---

Home Index