---

Step * 1 of Lemma compact-metric-to-metric-continuity


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. cmplt : mcomplete(X with d)
4. mtb : m-TB(X;d)
5. Y : Type
6. dY : metric(Y)
7. f : X ⟶ Y
8. ∀x,y:X.  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
⊢ ∀k:ℕ+. ∃delta:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(dY;f x;f y) ≤ (r1/r(k))))
BY
{ (Auto
   THEN (InstLemma `m-TB-product` [⌜2⌝;⌜λ2i.X⌝;⌜λ2i.d⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (InstLemma `prod-metric-space-complete` [⌜2⌝;⌜λ2i.X with d⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN RepUR ``prod-metric-space mk-metric-space so_lambda`` -1
   THEN Fold `mk-metric-space`(-1)) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. cmplt : mcomplete(X with d)
4. mtb : m-TB(X;d)
5. Y : Type
6. dY : metric(Y)
7. f : X ⟶ Y
8. ∀x,y:X.  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
9. k : ℕ+
10. m-TB(i:ℕ2 ⟶ X;prod-metric(2;λ2i.d))
11. mcomplete(i:ℕ2 ⟶ X with prod-metric(2;λi.d))
⊢ ∃delta:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(dY;f x;f y) ≤ (r1/r(k))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  cmplt  :  mcomplete(X  with  d)
4.  mtb  :  m-TB(X;d)
5.  Y  :  Type
6.  dY  :  metric(Y)
7.  f  :  X  {}\mrightarrow{}  Y
8.  \mforall{}x,y:X.    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  f  x  \mequiv{}  f  y)
\mvdash{}  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}delta:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\}  .  \mforall{}x,y:X.    ((mdist(d;x;y)  \mleq{}  delta)  {}\mRightarrow{}  (mdist(dY;f  x;f  y)  \mleq{}  (r1/r(k))))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (InstLemma  `m-TB-product`  [\mkleeneopen{}2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}i.X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}i.d\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `prod-metric-space-complete`  [\mkleeneopen{}2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}i.X  with  d\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``prod-metric-space  mk-metric-space  so\_lambda``  -1
  THEN  Fold  `mk-metric-space`(-1))

---

Home Index