---

Step * 1 1 of Lemma comparison-test-for-divergence


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℕ ⟶ ℝ
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. ∀k:ℕ. ∃m,n:ℕ. ((k ≤ m) ∧ (k ≤ n) ∧ (e ≤ |Σ{y[i] | 0≤i≤m} - Σ{y[i] | 0≤i≤n}|))
6. N : ℕ
7. ∀n:{N...}. ((r0 ≤ y[n]) ∧ (y[n] ≤ x[n]))
8. k : ℕ
9. m : ℕ
10. n : ℕ
11. imax(N;k) ≤ m
12. imax(N;k) ≤ n
13. e ≤ |Σ{y[i] | 0≤i≤m} - Σ{y[i] | 0≤i≤n}|
14. k ≤ imax(N;k)
15. k ≤ n
⊢ e ≤ |Σ{x[i] | 0≤i≤m} - Σ{x[i] | 0≤i≤n}|
BY
{ (RWO "-3" 0 THENA Auto) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℕ ⟶ ℝ
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. ∀k:ℕ. ∃m,n:ℕ. ((k ≤ m) ∧ (k ≤ n) ∧ (e ≤ |Σ{y[i] | 0≤i≤m} - Σ{y[i] | 0≤i≤n}|))
6. N : ℕ
7. ∀n:{N...}. ((r0 ≤ y[n]) ∧ (y[n] ≤ x[n]))
8. k : ℕ
9. m : ℕ
10. n : ℕ
11. imax(N;k) ≤ m
12. imax(N;k) ≤ n
13. e ≤ |Σ{y[i] | 0≤i≤m} - Σ{y[i] | 0≤i≤n}|
14. k ≤ imax(N;k)
15. k ≤ n
⊢ |Σ{y[i] | 0≤i≤m} - Σ{y[i] | 0≤i≤n}| ≤ |Σ{x[i] | 0≤i≤m} - Σ{x[i] | 0≤i≤n}|

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  e  :  \mBbbR{}
4.  r0  <  e
5.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mexists{}m,n:\mBbbN{}.  ((k  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (k  \mleq{}  n)  \mwedge{}  (e  \mleq{}  |\mSigma{}\{y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}  -  \mSigma{}\{y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}|))
6.  N  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  \mleq{}  y[n])  \mwedge{}  (y[n]  \mleq{}  x[n]))
8.  k  :  \mBbbN{}
9.  m  :  \mBbbN{}
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  imax(N;k)  \mleq{}  m
12.  imax(N;k)  \mleq{}  n
13.  e  \mleq{}  |\mSigma{}\{y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}  -  \mSigma{}\{y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}|
14.  k  \mleq{}  imax(N;k)
15.  k  \mleq{}  n
\mvdash{}  e  \mleq{}  |\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}  -  \mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}|


By

---

Latex:
(RWO  "-3"  0  THENA  Auto)

---

Home Index