---

Step * 1 of Lemma concave-positive-nonzero-on


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (r0 < f[x]))
5. concave-on(I;x.f[x])
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
⊢ ∃c:ℝ [((r0 < c) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (c ≤ |f[x]|))))]
BY
{ ((Assert i-approx(I;m) ⊆ I  BY
          Auto)
   THEN (Assert left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I BY
               ((DVar `m' THEN Unhide THEN Auto)
                THEN (Assert left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ i-approx(I;m) BY
                            EAuto 1)
                THEN Auto))
   THEN (Assert right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I BY
               ((DVar `m' THEN Unhide THEN Auto)
                THEN (Assert right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ i-approx(I;m) BY
                            EAuto 1)
                THEN Auto))
   THEN D 0 With ⌜rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])⌝ 
   THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (r0 < f[x]))
5. concave-on(I;x.f[x])
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. i-approx(I;m) ⊆ I 
8. left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
9. right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
⊢ r0 < rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])

2
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (r0 < f[x]))
5. concave-on(I;x.f[x])
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. i-approx(I;m) ⊆ I 
8. left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
9. right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
10. r0 < rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])
11. x : ℝ
12. x ∈ i-approx(I;m)
⊢ rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))]) ≤ |f[x]|

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (r0  <  f[x]))
5.  concave-on(I;x.f[x])
6.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
\mvdash{}  \mexists{}c:\mBbbR{}  [((r0  <  c)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))  {}\mRightarrow{}  (c  \mleq{}  |f[x]|))))]


By

---

Latex:
((Assert  i-approx(I;m)  \msubseteq{}  I    BY
                Auto)
  THEN  (Assert  left-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  I  BY
                          ((DVar  `m'  THEN  Unhide  THEN  Auto)
                            THEN  (Assert  left-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  i-approx(I;m)  BY
                                                    EAuto  1)
                            THEN  Auto))
  THEN  (Assert  right-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  I  BY
                          ((DVar  `m'  THEN  Unhide  THEN  Auto)
                            THEN  (Assert  right-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  i-approx(I;m)  BY
                                                    EAuto  1)
                            THEN  Auto))
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])\mkleeneclose{} 
  THEN  Auto)

---

Home Index