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Step * 1 2 1 1 2 1 1 1 1 of Lemma convex-negative-nonzero-on


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (f[x] < r0))
5. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
6. i-approx(I;m) ⊆ I 
7. left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
8. right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
9. r0 < rmin(-(f[left-endpoint(i-approx(I;m))]);-(f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))
10. x : ℝ
11. x ∈ i-approx(I;m)
12. f[x] < r0
13. left-endpoint(i-approx(I;m)) < right-endpoint(i-approx(I;m))
14. t : ℝ
15. r0 ≤ t
16. t ≤ r1
17. x = ((t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m))))
18. (t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m))) ∈ I
19. f[(t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m)))] ≤ ((t
* f[left-endpoint(i-approx(I;m))])
+ ((r1 - t) * f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))
20. f[x] = f[(t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m)))]
⊢ ((t * f[left-endpoint(i-approx(I;m))])
+ ((r1 - t)
  * f[right-endpoint(i-approx(I;m))])) ≤ rmax(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])
BY
{ ((GenConcl ⌜f[left-endpoint(i-approx(I;m))] = a ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜f[right-endpoint(i-approx(I;m))] = b ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN EAuto 1) }

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Latex:

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Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  <  r0))
5.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
6.  i-approx(I;m)  \msubseteq{}  I 
7.  left-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  I
8.  right-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  I
9.  r0  <  rmin(-(f[left-endpoint(i-approx(I;m))]);-(f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))
10.  x  :  \mBbbR{}
11.  x  \mmember{}  i-approx(I;m)
12.  f[x]  <  r0
13.  left-endpoint(i-approx(I;m))  <  right-endpoint(i-approx(I;m))
14.  t  :  \mBbbR{}
15.  r0  \mleq{}  t
16.  t  \mleq{}  r1
17.  x  =  ((t  *  left-endpoint(i-approx(I;m)))  +  ((r1  -  t)  *  right-endpoint(i-approx(I;m))))
18.  (t  *  left-endpoint(i-approx(I;m)))  +  ((r1  -  t)  *  right-endpoint(i-approx(I;m)))  \mmember{}  I
19.  f[(t  *  left-endpoint(i-approx(I;m)))  +  ((r1  -  t)  *  right-endpoint(i-approx(I;m)))]  \mleq{}  ((t
*  f[left-endpoint(i-approx(I;m))])
+  ((r1  -  t)  *  f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))
20.  f[x]  =  f[(t  *  left-endpoint(i-approx(I;m)))  +  ((r1  -  t)  *  right-endpoint(i-approx(I;m)))]
\mvdash{}  ((t  *  f[left-endpoint(i-approx(I;m))])
+  ((r1  -  t)
    *  f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))  \mleq{}  rmax(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[...])


By

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Latex:
((GenConcl  \mkleeneopen{}f[left-endpoint(i-approx(I;m))]  =  a\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}f[right-endpoint(i-approx(I;m))]  =  b\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  EAuto  1)

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