---

Step * 2 4 of Lemma cosine-poly-approx-1


1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤i} - cosine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |cosine(x) - Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. |Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | k + 1≤i≤N}| ≤ (x^2 * (k + 1))/(2 * (k + 1))!
⊢ ((r1/r(k1)) + |Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | k + 1≤i≤N}|) ≤ ((x^(2 * k) + 2/r(((2 * k) + 2)!)) + e)
BY
{ ((Subst' 2 * (k + 1) ~ (2 * k) + 2 -1 THEN Auto) THEN RWO "-1" 0 THEN Auto) }

1
1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤i} - cosine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |cosine(x) - Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. |Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | k + 1≤i≤N}| ≤ (x^(2 * k) + 2)/((2 * k) + 2)!
⊢ ((r1/r(k1)) + (x^(2 * k) + 2)/((2 * k) + 2)!) ≤ ((x^(2 * k) + 2/r(((2 * k) + 2)!)) + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
4.  k1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r1/r(k1))  <  e
6.  N  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  i)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}2  *  i)/(2  *  i)!  |  0\mleq{}i\mleq{}i\}  -  cosine(x)|  \mleq{}  (r1/r(k1))))
8.  |cosine(x)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}2  *  i)/(2  *  i)!  |  0\mleq{}i\mleq{}N\}|  \mleq{}  (r1/r(k1))
9.  \mneg{}(N  \mleq{}  k)
10.  |\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}2  *  i)/(2  *  i)!  |  k  +  1\mleq{}i\mleq{}N\}|  \mleq{}  (x\^{}2  *  (k  +  1))/(2  *  (k  +  1))!
\mvdash{}  ((r1/r(k1))  +  |\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}2  *  i)/(2  *  i)!  |  k  +  1\mleq{}i\mleq{}N\}|)  \mleq{}  ((x\^{}(2  *  k)  +  2/r(((2  *  k)  +  2)!))
+  e)


By

---

Latex:
((Subst'  2  *  (k  +  1)  \msim{}  (2  *  k)  +  2  -1  THEN  Auto)  THEN  RWO  "-1"  0  THEN  Auto)

---

Home Index