---

Step * 1 1 1 of Lemma countable-Heine-Borel-weak


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. [C] : ℕ ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℙ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} | x = y} .  (C[n;x] ⇒ C[n;y])
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∃n:ℕ. C[n;x]
6. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7. a ≤ b
8. F : f:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℕ
9. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. C[F f;cantor-to-interval(a;b;f)]
10. n : ℕ
11. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℤ))
⊢ ∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
BY
{ Assert ⌜∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. F f < k⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. [C] : ℕ ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℙ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} | x = y} .  (C[n;x] ⇒ C[n;y])
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∃n:ℕ. C[n;x]
6. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7. a ≤ b
8. F : f:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℕ
9. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. C[F f;cantor-to-interval(a;b;f)]
10. n : ℕ
11. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℤ))
⊢ ∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. F f < k

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. [C] : ℕ ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℙ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} | x = y} .  (C[n;x] ⇒ C[n;y])
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∃n:ℕ. C[n;x]
6. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7. a ≤ b
8. F : f:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℕ
9. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. C[F f;cantor-to-interval(a;b;f)]
10. n : ℕ
11. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℤ))
12. ∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. F f < k
⊢ ∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  [C]  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mforall{}y:\{y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  |  x  =  y\}  .    (C[n;x]  {}\mRightarrow{}  C[n;y])
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mexists{}n:\mBbbN{}.  C[n;x]
6.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7.  a  \mleq{}  b
8.  F  :  f:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
9.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  C[F  f;cantor-to-interval(a;b;f)]
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g)))
\mvdash{}  \mexists{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  F  f  <  k\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index