---

Step * 2 2 of Lemma countable-Heine-Borel-weak


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. C : ℕ ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℙ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} | x = y} .  (C[n;x] ⇒ C[n;y])
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∃n:ℕ. C[n;x]
6. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7. k : ℕ
8. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
9. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
10. ¬(a < b)
⊢ ¬¬(∃n:ℕk. C[n;x])
BY
{ ((FLemma `not-rless` [-1] THENA Auto)
   THEN (Assert a ≤ b BY
               Auto)
   THEN (Assert x = a BY
               (DVar `x' THEN Unhide THEN Auto THEN Reduce -4 THEN EAuto 1))) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. C : ℕ ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℙ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} | x = y} .  (C[n;x] ⇒ C[n;y])
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∃n:ℕ. C[n;x]
6. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7. k : ℕ
8. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
9. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
10. ¬(a < b)
11. b ≤ a
12. a ≤ b
13. x = a
⊢ ¬¬(∃n:ℕk. C[n;x])

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  C  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mforall{}y:\{y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  |  x  =  y\}  .    (C[n;x]  {}\mRightarrow{}  C[n;y])
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mexists{}n:\mBbbN{}.  C[n;x]
6.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7.  k  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
9.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
10.  \mneg{}(a  <  b)
\mvdash{}  \mneg{}\mneg{}(\mexists{}n:\mBbbN{}k.  C[n;x])


By

---

Latex:
((FLemma  `not-rless`  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  a  \mleq{}  b  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  x  =  a  BY
                          (DVar  `x'  THEN  Unhide  THEN  Auto  THEN  Reduce  -4  THEN  EAuto  1)))

---

Home Index