---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma derivative-implies-strictly-increasing


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f'[x])
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x < y
11. [x, y] ⊆ I 
12. k : ℕ+
13. (r1/r(k)) < f'[x]
14. d : ℝ
15. r0 < d
16. ∀z:ℝ. (((x ≤ z) ∧ (z ≤ y)) ⇒ (|x - z| ≤ d) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z]))
17. w : ℝ
18. x < w
19. w < y
20. w < (x + d)
21. z : ℝ
22. (x ≤ z) ∧ (z ≤ w)
23. (|x - z| ≤ d) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z])
⊢ |x - z| ≤ d
BY
{ (BLemma `rabs-difference-bound-rleq`
   THEN Auto
   THEN (Assert z ≤ (z + d) BY
               (nRAdd ⌜-(z)⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN Auto
   THEN nRNorm (-6)
   THEN nRAdd ⌜d⌝ 0⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
6.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (r0  <  f'[x])
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
9.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
10.  x  <  y
11.  [x,  y]  \msubseteq{}  I 
12.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
13.  (r1/r(k))  <  f'[x]
14.  d  :  \mBbbR{}
15.  r0  <  d
16.  \mforall{}z:\mBbbR{}.  (((x  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  y))  {}\mRightarrow{}  (|x  -  z|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  ((r1/r(2  *  k))  \mleq{}  f'[z]))
17.  w  :  \mBbbR{}
18.  x  <  w
19.  w  <  y
20.  w  <  (x  +  d)
21.  z  :  \mBbbR{}
22.  (x  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  w)
23.  (|x  -  z|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  ((r1/r(2  *  k))  \mleq{}  f'[z])
\mvdash{}  |x  -  z|  \mleq{}  d


By

---

Latex:
(BLemma  `rabs-difference-bound-rleq`
  THEN  Auto
  THEN  (Assert  z  \mleq{}  (z  +  d)  BY
                          (nRAdd  \mkleeneopen{}-(z)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  Auto
  THEN  nRNorm  (-6)
  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}d\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index