---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 2 1 of Lemma derivative-implies-strictly-increasing


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f'[x])
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < f'[x]
11. w : ℝ
12. x < w
13. w ∈ I
14. ∀z:ℝ. (((x ≤ z) ∧ (z ≤ w)) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z]))
⊢ f[x] < f[w]
BY
{ (((Assert [x, w] ⊆ I  BY
           EAuto 1)
    THEN (InstLemma `continuous_functionality_wrt_subinterval` [⌜I⌝;⌜f'⌝;⌜[x, w]⌝]⋅ THENA Auto)
    )
   THEN (InstLemma `mean-value-theorem` [⌜x⌝;⌜w⌝;⌜f⌝;⌜f'⌝]⋅
         THENA (Auto THEN Using [`I',⌜I⌝] (BLemma `derivative_functionality_wrt_subinterval`)⋅ THEN Auto)
         )⋅
   ) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f'[x])
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < f'[x]
11. w : ℝ
12. x < w
13. w ∈ I
14. ∀z:ℝ. (((x ≤ z) ∧ (z ≤ w)) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z]))
15. [x, w] ⊆ I 
16. f'[x] continuous for x ∈ [x, w]
17. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:ℝ. ((x@0 ∈ [x, w]) ∧ (|f[w] - f[x] - f'[x@0] * (w - x)| ≤ e))))
⊢ f[x] < f[w]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
6.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (r0  <  f'[x])
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
9.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  (r1/r(k))  <  f'[x]
11.  w  :  \mBbbR{}
12.  x  <  w
13.  w  \mmember{}  I
14.  \mforall{}z:\mBbbR{}.  (((x  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  w))  {}\mRightarrow{}  ((r1/r(2  *  k))  \mleq{}  f'[z]))
\mvdash{}  f[x]  <  f[w]


By

---

Latex:
(((Assert  [x,  w]  \msubseteq{}  I    BY
                  EAuto  1)
    THEN  (InstLemma  `continuous\_functionality\_wrt\_subinterval`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}[x,  w]\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
    )
  THEN  (InstLemma  `mean-value-theorem`  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}w\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f'\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  (Auto
                            THEN  Using  [`I',\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{}]  (BLemma  `derivative\_functionality\_wrt\_subinterval`)\mcdot{}
                            THEN  Auto)
              )\mcdot{}
  )

---

Home Index