---

Step * 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma derivative-implies-strictly-increasing


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f'[x])
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < f'[x]
11. w : ℝ
12. x < w
13. w ∈ I
14. ∀z:ℝ. (((x ≤ z) ∧ (z ≤ w)) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z]))
15. [x, w] ⊆ I 
16. f'[x] continuous for x ∈ [x, w]
17. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:ℝ. ((x@0 ∈ [x, w]) ∧ (|f[w] - f[x] - f'[x@0] * (w - x)| ≤ e))))
18. z : ℝ
19. z ∈ [x, w]
20. ((f'[z] * (w - x)) - (w - x/r(3 * k))) ≤ (f[w] - f[x])
21. (f[w] - f[x]) ≤ ((f'[z] * (w - x)) + (w - x/r(3 * k)))
22. (r1/r(2 * k)) ≤ f'[z]
23. a : ℝ
24. (w - x) = a ∈ ℝ
25. r0 < a
26. 2 * k < 3 * k
27. (r1/r(3 * k)) < f'[z]
⊢ r0 < ((f'[z] * a) - (a/r(3 * k)))
BY
{ (nRMul ⌜a⌝ (-1)⋅ THENA Auto) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f'[x])
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < f'[x]
11. w : ℝ
12. x < w
13. w ∈ I
14. ∀z:ℝ. (((x ≤ z) ∧ (z ≤ w)) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z]))
15. [x, w] ⊆ I 
16. f'[x] continuous for x ∈ [x, w]
17. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:ℝ. ((x@0 ∈ [x, w]) ∧ (|f[w] - f[x] - f'[x@0] * (w - x)| ≤ e))))
18. z : ℝ
19. z ∈ [x, w]
20. ((f'[z] * (w - x)) - (w - x/r(3 * k))) ≤ (f[w] - f[x])
21. (f[w] - f[x]) ≤ ((f'[z] * (w - x)) + (w - x/r(3 * k)))
22. (r1/r(2 * k)) ≤ f'[z]
23. a : ℝ
24. (w - x) = a ∈ ℝ
25. r0 < a
26. 2 * k < 3 * k
27. ((a/r(k))/r(3)) < (f'[z] * a)
⊢ r0 < ((f'[z] * a) - (a/r(3 * k)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
6.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (r0  <  f'[x])
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
9.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  (r1/r(k))  <  f'[x]
11.  w  :  \mBbbR{}
12.  x  <  w
13.  w  \mmember{}  I
14.  \mforall{}z:\mBbbR{}.  (((x  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  w))  {}\mRightarrow{}  ((r1/r(2  *  k))  \mleq{}  f'[z]))
15.  [x,  w]  \msubseteq{}  I 
16.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [x,  w]
17.  \mforall{}e:\mBbbR{}.  ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x@0:\mBbbR{}.  ((x@0  \mmember{}  [x,  w])  \mwedge{}  (|f[w]  -  f[x]  -  f'[x@0]  *  (w  -  x)|  \mleq{}  e))))
18.  z  :  \mBbbR{}
19.  z  \mmember{}  [x,  w]
20.  ((f'[z]  *  (w  -  x))  -  (w  -  x/r(3  *  k)))  \mleq{}  (f[w]  -  f[x])
21.  (f[w]  -  f[x])  \mleq{}  ((f'[z]  *  (w  -  x))  +  (w  -  x/r(3  *  k)))
22.  (r1/r(2  *  k))  \mleq{}  f'[z]
23.  a  :  \mBbbR{}
24.  (w  -  x)  =  a
25.  r0  <  a
26.  2  *  k  <  3  *  k
27.  (r1/r(3  *  k))  <  f'[z]
\mvdash{}  r0  <  ((f'[z]  *  a)  -  (a/r(3  *  k)))


By

---

Latex:
(nRMul  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index