---

Step * 8 1 1 of Lemma i-member-implies


1. y : Top
2. y1 : ℝ
3. r : ℝ
4. M : ℕ+
5. (r ≤ (y1 - (r1/r(M)))) ∧ (r(-M) ≤ r)
6. (r1/r(2 * M)) < (r1/r(M))
7. (r1/r(M)) = (r(2) * (r1/r(2 * M)))
⊢ ∃n,M:ℕ+
   (((r(-n) ≤ r) ∧ (r ≤ (y1 - (r1/r(n)))))
   ∧ (∀y@0:{y@0:ℝ| y@0 < y1} 
        ((((r - (r1/r(M))) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (r + (r1/r(M))))) ⇒ ((r(-n) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (y1 - (r1/r(n)))))))
   ∧ (((False ∧ True) ⇒ (case ⊥ of inl(a) => a | inr(a) => a < y1)) ⇒ (True ∧ True) ⇒ (r(-n) < (y1 - (r1/r(n))))))
BY
{ (Assert r(-(2 * M)) ≤ (r(-M) - (r1/r(2 * M))) BY
         (All Thin THEN ((Assert 1 ≤ M BY Auto) THEN (Mul ⌜M⌝ (-1)⋅ THENA Auto)) THEN nRMul ⌜r(2 * M)⌝ 0⋅ THEN Auto)) }

1
1. y : Top
2. y1 : ℝ
3. r : ℝ
4. M : ℕ+
5. (r ≤ (y1 - (r1/r(M)))) ∧ (r(-M) ≤ r)
6. (r1/r(2 * M)) < (r1/r(M))
7. (r1/r(M)) = (r(2) * (r1/r(2 * M)))
8. r(-(2 * M)) ≤ (r(-M) - (r1/r(2 * M)))
⊢ ∃n,M:ℕ+
   (((r(-n) ≤ r) ∧ (r ≤ (y1 - (r1/r(n)))))
   ∧ (∀y@0:{y@0:ℝ| y@0 < y1} 
        ((((r - (r1/r(M))) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (r + (r1/r(M))))) ⇒ ((r(-n) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (y1 - (r1/r(n)))))))
   ∧ (((False ∧ True) ⇒ (case ⊥ of inl(a) => a | inr(a) => a < y1)) ⇒ (True ∧ True) ⇒ (r(-n) < (y1 - (r1/r(n))))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  y  :  Top
2.  y1  :  \mBbbR{}
3.  r  :  \mBbbR{}
4.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r  \mleq{}  (y1  -  (r1/r(M))))  \mwedge{}  (r(-M)  \mleq{}  r)
6.  (r1/r(2  *  M))  <  (r1/r(M))
7.  (r1/r(M))  =  (r(2)  *  (r1/r(2  *  M)))
\mvdash{}  \mexists{}n,M:\mBbbN{}\msupplus{}
      (((r(-n)  \mleq{}  r)  \mwedge{}  (r  \mleq{}  (y1  -  (r1/r(n)))))
      \mwedge{}  (\mforall{}y@0:\{y@0:\mBbbR{}|  y@0  <  y1\} 
                ((((r  -  (r1/r(M)))  \mleq{}  y@0)  \mwedge{}  (y@0  \mleq{}  (r  +  (r1/r(M)))))
                {}\mRightarrow{}  ((r(-n)  \mleq{}  y@0)  \mwedge{}  (y@0  \mleq{}  (y1  -  (r1/r(n)))))))
      \mwedge{}  (((False  \mwedge{}  True)  {}\mRightarrow{}  (case  \mbot{}  of  inl(a)  =>  a  |  inr(a)  =>  a  <  y1))
          {}\mRightarrow{}  (True  \mwedge{}  True)
          {}\mRightarrow{}  (r(-n)  <  (y1  -  (r1/r(n))))))


By

---

Latex:
(Assert  r(-(2  *  M))  \mleq{}  (r(-M)  -  (r1/r(2  *  M)))  BY
              (All  Thin
                THEN  ((Assert  1  \mleq{}  M  BY  Auto)  THEN  (Mul  \mkleeneopen{}M\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto))
                THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2  *  M)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                THEN  Auto))

---

Home Index