---

Step * 2 2 1 1 1 1 1 of Lemma infn-rleq


1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. f : {f:I^n ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} 
5. x : I^n
6. ∀z:{x:ℝ| x ∈ I} . (λa.(f a++z) ∈ {f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} )
7. x (n - 1) ∈ {x:ℝ| x ∈ I} 
8. (infn(n - 1;I) (λa.(f a++x (n - 1)))) ≤ (f x++x (n - 1))
9. ∀f,g:I^n ⟶ ℝ.
     ((∀x,y:I^n.  (req-vec(n;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
     ⇒ (∀x:I^n. ((f x) = (g x)))
     ⇒ (inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} = inf{infn(n - 1;I) (λa.(g a++z)) | z ∈ I}))
10. ∀f,g:I^n - 1 ⟶ ℝ.
      ((∀x,y:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
      ⇒ (∀x:I^n - 1. ((f x) = (g x)))
      ⇒ ((infn(n - 1;I) f) = (infn(n - 1;I) g)))
⊢ inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} ≤ (f x)
BY
{ ((Assert ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b))) BY
          (DVar `f' THEN Unhide THEN Auto))
   THEN (InstLemma `range_inf-property` [⌜I⌝;⌜λ2z.infn(n - 1;I) (λa.(f a++z))⌝]⋅
         THENA (Try ((RepeatFor 2 ((Intros THEN BackThruSomeHyp THEN Reduce 0))
                      THEN Try (ParallelLast)
                      THEN RepUR ``req-vec real-vec-extend`` 0))
                THEN Auto
                )
         )
   ) }

1
1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. f : {f:I^n ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} 
5. x : I^n
6. ∀z:{x:ℝ| x ∈ I} . (λa.(f a++z) ∈ {f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} )
7. x (n - 1) ∈ {x:ℝ| x ∈ I} 
8. (infn(n - 1;I) (λa.(f a++x (n - 1)))) ≤ (f x++x (n - 1))
9. ∀f,g:I^n ⟶ ℝ.
     ((∀x,y:I^n.  (req-vec(n;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
     ⇒ (∀x:I^n. ((f x) = (g x)))
     ⇒ (inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} = inf{infn(n - 1;I) (λa.(g a++z)) | z ∈ I}))
10. ∀f,g:I^n - 1 ⟶ ℝ.
      ((∀x,y:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
      ⇒ (∀x:I^n - 1. ((f x) = (g x)))
      ⇒ ((infn(n - 1;I) f) = (infn(n - 1;I) g)))
11. ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))
12. inf(infn(n - 1;I) (λa.(f a++x))(x∈I)) = inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++x)) | x ∈ I}
⊢ inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} ≤ (f x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  \{I:Interval|  icompact(I)\} 
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  0  <  n
4.  f  :  \{f:I\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}|  \mforall{}a,b:I\^{}n.    (req-vec(n;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))\} 
5.  x  :  I\^{}n
6.  \mforall{}z:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
          (\mlambda{}a.(f  a++z)  \mmember{}  \{f:I\^{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}|  \mforall{}a,b:I\^{}n  -  1.    (req-vec(n  -  1;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))\}  )
7.  x  (n  -  1)  \mmember{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
8.  (infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++x  (n  -  1))))  \mleq{}  (f  x++x  (n  -  1))
9.  \mforall{}f,g:I\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
          ((\mforall{}x,y:I\^{}n.    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y))))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:I\^{}n.  ((f  x)  =  (g  x)))
          {}\mRightarrow{}  (inf\{infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++z))  |  z  \mmember{}  I\}  =  inf\{infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(g  a++z))  |  z  \mmember{}  I\}))
10.  \mforall{}f,g:I\^{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
            ((\mforall{}x,y:I\^{}n  -  1.    (req-vec(n  -  1;x;y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y))))
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:I\^{}n  -  1.  ((f  x)  =  (g  x)))
            {}\mRightarrow{}  ((infn(n  -  1;I)  f)  =  (infn(n  -  1;I)  g)))
\mvdash{}  inf\{infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++z))  |  z  \mmember{}  I\}  \mleq{}  (f  x)


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}a,b:I\^{}n.    (req-vec(n;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))  BY
                (DVar  `f'  THEN  Unhide  THEN  Auto))
  THEN  (InstLemma  `range\_inf-property`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}z.infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++z))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  (Try  ((RepeatFor  2  ((Intros  THEN  BackThruSomeHyp  THEN  Reduce  0))
                                        THEN  Try  (ParallelLast)
                                        THEN  RepUR  ``req-vec  real-vec-extend``  0))
                            THEN  Auto
                            )
              )
  )

---

Home Index