---

Step * 1 of Lemma intermediate-value-lemma'


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
5. a ≤ b
6. c : {c:ℝ| (f(a) ≤ c) ∧ (c ≤ f(b))} 
7. ∃d:{d:ℝ| (r0 ≤ d) ∧ (d < r1)} 
    ∀a1:{a1:ℝ| (a1 ∈ [a, b]) ∧ (f(a1) ≤ c)} . ∀b1:{b1:ℝ| (b1 ∈ [a, b]) ∧ (c ≤ f(b1)) ∧ (a1 < b1)} .
      ∃a2:{a2:ℝ| (a2 ∈ [a, b]) ∧ (f(a2) ≤ c)} . (∃b2:{b2:ℝ| (b2 ∈ [a, b]) ∧ (c ≤ f(b2))}  [((a1 ≤ a2) ∧ (a2 < b2) ∧ (b2 \000C≤ b1) ∧ ((b2 - a2) ≤ ((b1 - a1) * d)))])
8. y : ℝ
9. y ∈ closure(λz.(↓sublevelset([a, b];f;c) z))
10. y ∈ closure(λz.(↓superlevelset([a, b];f;c) z))
11. f(x) continuous for x ∈ [a, b]
⊢ (y ∈ [a, b]) ∧ (f(y) = c)
BY
{ (PromoteHyp (-1) 4
   THEN (Assert sublevelset([a, b];f;c) y BY
               ((Assert closed-rset(sublevelset([a, b];f;c)) BY
                       (BLemma `sublevelset-closed` THEN Auto THEN RepUR ``i-closed`` 0 THEN Auto))
                THEN BackThruHyp' (-1)
                THEN Auto
                THEN RepeatFor 4 (ParallelOp -3)
                THEN Reduce -1
                THEN D -1
                THEN Unhide
                THEN Auto
                THEN Unfold `sublevelset` 0
                THEN Reduce 0
                THEN Auto))
   THEN (Assert superlevelset([a, b];f;c) y BY
               ((Assert closed-rset(superlevelset([a, b];f;c)) BY
                       (BLemma `superlevelset-closed` THEN Auto THEN RepUR ``i-closed`` 0 THEN Auto))
                THEN BackThruHyp' (-1)
                THEN Auto
                THEN RepeatFor 4 (ParallelOp -3)
                THEN Reduce -1
                THEN D -1
                THEN Unhide
                THEN Auto
                THEN Unfold `superlevelset` 0
                THEN Reduce 0
                THEN Auto))) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. f(x) continuous for x ∈ [a, b]
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
6. a ≤ b
7. c : {c:ℝ| (f(a) ≤ c) ∧ (c ≤ f(b))} 
8. ∃d:{d:ℝ| (r0 ≤ d) ∧ (d < r1)} 
    ∀a1:{a1:ℝ| (a1 ∈ [a, b]) ∧ (f(a1) ≤ c)} . ∀b1:{b1:ℝ| (b1 ∈ [a, b]) ∧ (c ≤ f(b1)) ∧ (a1 < b1)} .
      ∃a2:{a2:ℝ| (a2 ∈ [a, b]) ∧ (f(a2) ≤ c)} . (∃b2:{b2:ℝ| (b2 ∈ [a, b]) ∧ (c ≤ f(b2))}  [((a1 ≤ a2) ∧ (a2 < b2) ∧ (b2 \000C≤ b1) ∧ ((b2 - a2) ≤ ((b1 - a1) * d)))])
9. y : ℝ
10. y ∈ closure(λz.(↓sublevelset([a, b];f;c) z))
11. y ∈ closure(λz.(↓superlevelset([a, b];f;c) z))
12. sublevelset([a, b];f;c) y
13. superlevelset([a, b];f;c) y
⊢ (y ∈ [a, b]) ∧ (f(y) = c)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
5.  a  \mleq{}  b
6.  c  :  \{c:\mBbbR{}|  (f(a)  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  \mleq{}  f(b))\} 
7.  \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  d)  \mwedge{}  (d  <  r1)\} 
        \mforall{}a1:\{a1:\mBbbR{}|  (a1  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (f(a1)  \mleq{}  c)\}  .  \mforall{}b1:\{b1:\mBbbR{}|  (b1  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (c  \mleq{}  f(b1))  \mwedge{}  (a1  <  b1)\}  .
            \mexists{}a2:\{a2:\mBbbR{}|  (a2  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (f(a2)  \mleq{}  c)\} 
              (\mexists{}b2:\{b2:\mBbbR{}|  (b2  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (c  \mleq{}  f(b2))\}    [((a1  \mleq{}  a2)
                                                                                      \mwedge{}  (a2  <  b2)
                                                                                      \mwedge{}  (b2  \mleq{}  b1)
                                                                                      \mwedge{}  ((b2  -  a2)  \mleq{}  ((b1  -  a1)  *  d)))])
8.  y  :  \mBbbR{}
9.  y  \mmember{}  closure(\mlambda{}z.(\mdownarrow{}sublevelset([a,  b];f;c)  z))
10.  y  \mmember{}  closure(\mlambda{}z.(\mdownarrow{}superlevelset([a,  b];f;c)  z))
11.  f(x)  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
\mvdash{}  (y  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (f(y)  =  c)


By

---

Latex:
(PromoteHyp  (-1)  4
  THEN  (Assert  sublevelset([a,  b];f;c)  y  BY
                          ((Assert  closed-rset(sublevelset([a,  b];f;c))  BY
                                          (BLemma  `sublevelset-closed`  THEN  Auto  THEN  RepUR  ``i-closed``  0  THEN  Auto))
                            THEN  BackThruHyp'  (-1)
                            THEN  Auto
                            THEN  RepeatFor  4  (ParallelOp  -3)
                            THEN  Reduce  -1
                            THEN  D  -1
                            THEN  Unhide
                            THEN  Auto
                            THEN  Unfold  `sublevelset`  0
                            THEN  Reduce  0
                            THEN  Auto))
  THEN  (Assert  superlevelset([a,  b];f;c)  y  BY
                          ((Assert  closed-rset(superlevelset([a,  b];f;c))  BY
                                          (BLemma  `superlevelset-closed`  THEN  Auto  THEN  RepUR  ``i-closed``  0  THEN  Auto))
                            THEN  BackThruHyp'  (-1)
                            THEN  Auto
                            THEN  RepeatFor  4  (ParallelOp  -3)
                            THEN  Reduce  -1
                            THEN  D  -1
                            THEN  Unhide
                            THEN  Auto
                            THEN  Unfold  `superlevelset`  0
                            THEN  Reduce  0
                            THEN  Auto)))

---

Home Index