---

Step * of Lemma intermediate-value-lemma-ext

∀a:ℝ. ∀b:{b:ℝ| a < b} . ∀f:[a, b] ⟶ℝ.
  ∀c:{c:ℝ| (f(a) ≤ c) ∧ (c ≤ f(b))} 
    ((∃d:{d:ℝ| (r0 ≤ d) ∧ (d < r1)} 
       ∀a1:{a1:ℝ| (a1 ∈ [a, b]) ∧ (f(a1) ≤ c)} . ∀b1:{b1:ℝ| (b1 ∈ [a, b]) ∧ (c ≤ f(b1)) ∧ (a1 ≤ b1)} .
         ∃a2:{a2:ℝ| (a2 ∈ [a, b]) ∧ (f(a2) ≤ c)} . (∃b2:{b2:ℝ| (b2 ∈ [a, b]) ∧ (c ≤ f(b2))}  [((a1 ≤ a2) ∧ (a2 ≤ b2) ∧ (\000Cb2 ≤ b1) ∧ ((b2 - a2) ≤ ((b1 - a1) * d)))]))
    ⇒ (∃x:ℝ [((x ∈ [a, b]) ∧ (f(x) = c))])) 
  supposing ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
BY
{ Extract of Obid: intermediate-value-lemma
  not unfolding  divide radd rsub rminus int-to-real primrec absval rlessw rdiv rmul exp-ratio canonical-bound
  finishing with ((Subst' canonical-bound(λn.|r0 n|) ~ 2 0 THENA Computation) THEN Reduce 0 THEN Auto)
  normalizes to:
  
  λa,b,f,c,dstep. let d,step = dstep 
                  in λn.eval m = 4 * n in
                        let x,_ = primrec(eval x1 = rlessw(λn.|d n|;λk.(2 * k * 1)) in
                                          eval a = exp-ratio(|d x1| + (2 * x1 * 1);4
                                                   * x1;0;eval b = canonical-bound(λn.|((λn.|(b - a) n|) + (r1/r1)) 
                                                                                       n|) in
                                                          if (b) < (2)
                                                             then 2 * 2 * m
                                                             else if (b) < (1)  then 2 * 1 * m  else (2 * b * m);1) in
                                            if (0) < (a)  then a  else 0;<a, b>;λi,r. let a,a1 = r in let a2,b2 = step a\000C a1 in <a2, b2>) 
                        in (x m) ÷ 4 }

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}a:\mBbbR{}.  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  a  <  b\}  .  \mforall{}f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
    \mforall{}c:\{c:\mBbbR{}|  (f(a)  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  \mleq{}  f(b))\} 
        ((\mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  d)  \mwedge{}  (d  <  r1)\} 
              \mforall{}a1:\{a1:\mBbbR{}|  (a1  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (f(a1)  \mleq{}  c)\}  .  \mforall{}b1:\{b1:\mBbbR{}|  (b1  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (c  \mleq{}  f(b1))  \mwedge{}  (a1  \mleq{}  b1)\}\000C  .
                  \mexists{}a2:\{a2:\mBbbR{}|  (a2  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (f(a2)  \mleq{}  c)\} 
                    (\mexists{}b2:\{b2:\mBbbR{}|  (b2  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (c  \mleq{}  f(b2))\}    [((a1  \mleq{}  a2)
                                                                                            \mwedge{}  (a2  \mleq{}  b2)
                                                                                            \mwedge{}  (b2  \mleq{}  b1)
                                                                                            \mwedge{}  ((b2  -  a2)  \mleq{}  ((b1  -  a1)  *  d)))]))
        {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}  [((x  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (f(x)  =  c))])) 
    supposing  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))


By

---

Latex:
...

---

Home Index