---

Step * 2 of Lemma locally-non-constant-via-rational


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. c : ℝ
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. u : ℝ
6. v : ℝ
7. a ≤ u
8. u < v
9. v ≤ b
10. z : ℝ
11. u ≤ z
12. z ≤ v
13. c < f(z)
14. ∀n:ℕ+
      (∃d:{ℝ| ((r0 < d)
              ∧ (∀x,y:ℝ.
                   (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))})
⊢ ∃n:ℕ+. ∃z:ℤ. ((u ≤ (r(z))/n) ∧ ((r(z))/n ≤ v) ∧ f((r(z))/n) ≠ c)
BY
{ ((InstLemma `small-reciprocal-real-ext` [⌜f(z) - c⌝]⋅ THENA (MemTypeCD THEN Auto THEN nRAdd ⌜c⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN ExRepD
   THEN nRAdd ⌜c⌝ (-1)⋅
   THEN Auto
   THEN (With ⌜k⌝ (D (-3))⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. c : ℝ
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. u : ℝ
6. v : ℝ
7. a ≤ u
8. u < v
9. v ≤ b
10. z : ℝ
11. u ≤ z
12. z ≤ v
13. c < f(z)
14. k : ℕ+
15. ((r1/r(k)) + c) < f(z)
16. d : ℝ
17. r0 < d
18. ∀x,y:ℝ.  (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))
⊢ ∃n:ℕ+. ∃z:ℤ. ((u ≤ (r(z))/n) ∧ ((r(z))/n ≤ v) ∧ f((r(z))/n) ≠ c)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  c  :  \mBbbR{}
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  u  :  \mBbbR{}
6.  v  :  \mBbbR{}
7.  a  \mleq{}  u
8.  u  <  v
9.  v  \mleq{}  b
10.  z  :  \mBbbR{}
11.  u  \mleq{}  z
12.  z  \mleq{}  v
13.  c  <  f(z)
14.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
            (\mexists{}d:\{\mBbbR{}|  ((r0  <  d)
                            \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                      (((a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b))
                                      {}\mRightarrow{}  ((a  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  b))
                                      {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                      {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))\})
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}z:\mBbbZ{}.  ((u  \mleq{}  (r(z))/n)  \mwedge{}  ((r(z))/n  \mleq{}  v)  \mwedge{}  f((r(z))/n)  \mneq{}  c)


By

---

Latex:
((InstLemma  `small-reciprocal-real-ext`  [\mkleeneopen{}f(z)  -  c\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  (MemTypeCD  THEN  Auto  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)
    )
  THEN  ExRepD
  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (With  \mkleeneopen{}k\mkleeneclose{}  (D  (-3))\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index